Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

Детали машин и основы конструирования

Файл:

Основы проектирования машин / ГЛАВА 2

.8.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

282.97 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ГЛАВА 2.8. РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

Расчет напряженно - деформированного состояния толстостенных цилиндров. Одной из важных задач теории напряженно - деформированных состояний является расчет осесимметричных цилиндрических тел при нагружении постоянным распределенным давлением, действующим как по наружной, так и по внутренней поверхностям. Такой случай нагружения не может быть рассчитан с помощью описанных ранее методов, а требует специального подхода.

Рис. 2.8.1

Рассмотрим однородное толстостенное цилиндрическое тело произвольных размеров, нагруженное осесимметричной радиальной внешней нагрузкой. После приложения нагрузки каждая точка перемещается, причем из соображений симметрии ясно, что эти перемещения будут происходить в радиальных плоскостях.

Деформированное состояние после нагружения удобно наблюдать на примере деформации элемента цилиндра

радиуса ρ и толщины dρ (рис. 2.8.1). Радиальное перемещение произвольной точки A обозначим через u. В

принятой нами расчетной модели перемещение u зависит только от текущего радиуса цилиндра ρ . Если после приложения внешней нагрузки радиус ρ получает приращение u (т. е. точка A перемещается на расстояние u

и переходит в точку A′), то отрезок ρ + dρ - приращение u + du (точка B перемещается на расстояние u + du и переходит в точку B′). Тогда радиальное удлинение εn рассматриваемого элемента равно

			ε	n	=	du
			ε		=	dρ	,			(2.8.1)
						dρ

а относительное удлинение длины окружности -
ε	t	=	2π(ρ + u) −2πρ					=	u
	t		2πρ						ρ .	(2.8.2)
			2πρ						ρ .	(2.8.2)

Рис. 2.8.2

Для нахождения зависимостей между возникающими напряжениями рассмотрим равновесие выделенного

элемента объема цилиндра с размерами dρ, dz и ρ dϕ (рис. 2.8.2). Касательные напряжения в осевых и поперечных сечениях цилиндра вследствие осевой симметрии отсутствуют, поэтому остаются только нормальные

(или окружные) σt и радиальные σ n	напряжения. Спроектировав все действующие на выделенный элемент
силовые факторы на радиальное направление, можно записать уравнение равновесия:
	(σn +dσn )(ρ +dρ)dϕ dz −σn ρdϕdz −σt dρ dzdϕ = 0					,
						,
откуда
	σn +		dσn	ρ −σt = 0
	σn +		dρ	ρ −σt = 0
			dρ	,			(2.8.3)
				,			(2.8.3)
или
		d(σn ρ)			−σt = 0
					−σt = 0
			dρ	.			(2.8.4)
				.			(2.8.4)
Следует отметить, что σ n и σt	являются главными напряжениями, так как они перпендикулярны к
плоскостям тех элементарных площадок, к которым приложены. Поэтому можно утверждать, что на этих

площадках не действуют напряжения сдвига. Закон Гука (2.2.6) для случая двухосного растяжения записывается в виде

εn =	1	(σn − µσt )	εt =	1	(σt − µσn )
	E			E
			;		,

так что после очевидных преобразований с учетом (2.8.1) и (2.8.2) получаем

(

+ µ

)

− µ2

dρ

(

)

1 − µ2

dρ

(2.8.5)

Подставляя в (2.8.4) значения напряжений σn

и σt

из (2.8.5), приходим к дифференциальному уравнению

для расчета деформаций:

d 2u

1 du

−

= 0

dρ2

ρ dρ

ρ2

(2.8.6)

Дифференциальное уравнение (2.8.6) может быть переписано как

[ du +

] = 0

dρ

или

[

(uρ)] = 0

dρ

ρ dρ

(2.8.7)

Решением (2.8.7) является функция радиального перемещения u вида

u = C

ρ ,

(2.8.8)

где C1 и C2 - постоянные интегрирования, значения которых в каждом конкретном случае определяются из граничных условий.

Найденную в (2.8.8) функцию u можно использовать для расчета напряжений. Подставив (2.8.8) в (2.8.5), получим

σn = 1 −Eµ2 [C1 (1 + µ) −C2 (1 − µ) ρ12 ],

σ	t	=		E	[C (1 + µ) +C		(1 − µ)	1	]
			1	− µ2
					1	2		ρ2		(2.8.9)
								.
Задача Ляме. Рассмотрим толстостенный цилиндр с внутренним радиусом r1 и внешним r2 ,
нагруженный одновременно внутренним p1 и внешним				p2 давлениями (рис. 2.8.3). Задача определения
напряженно - деформированного состояния такого цилиндра называется задачей Ляме.

Рис. 2.8.3

Граничные условия для напряжений в этом случае можно записать в следующем виде:

σn (ρ = r1 ) = −p1 , σn (ρ = r2 ) = −p2 ,

откуда постоянные интегрирования с учетом (2.8.9) равны

1 − µ		p r 2		− p	r 2			1 + µ			r 2 r 2
C1 =		1	1		2	2	C2 =				1	2	( p1 − p2 )
C1 =	E		r 2	−r 2		,	C2 =		E		r 2	−r 2	( p1 − p2 )
			2	1		,				2		1	. (2.8.10)

Подстановка (2.8.10) в (2.8.9) и (2.8.8) дает

p r 2

− p

r 2

r 2 r 2

p − p

1 1

2 2

−

1 2

r 2

−r 2

ρ2

2 −r 2

p r 2

− p

r 2

2 r

p − p

1 1

2 2

1 2

r 2

−r 2

ρ2

r 2

−r 2

(2.8.11)

;

u =

1 − µ

p r 2

− p

r 2

ρ +

1 + µ r 2 r 2

p − p

1 1

2 2

1 2

r 2

−r 2

ρ r 2

−r 2

(2.8.12)

1 .

Рассмотрим ряд частных решений, представляющих интерес для практики проектирования.

1) Цилиндр нагружен только внутренним давлением. Для указанного варианта нагружения справедливы следующие граничные условия:

σn (ρ = r1 ) = −p , σn (ρ = r2 ) = 0 ,

тогда (2.8.11) переписывается в виде

σ		=		pr 2		(1 −	r 2		)	σ		=		pr 2		(1 +	r 2		)
	n				1		2				t				1		2
			r 2		−r 2		ρ	2					r 2		−r 2		ρ	2
			r 2		−r 2		ρ	2		;			r 2		−r 2		ρ	2	.	(2.8.13)
			2		1					;			2		1				.	(2.8.13)

Рис. 2.8.4

На рис. 2.8.4 показан график изменения радиальных и окружных напряжений по толщине цилиндра. Из графика видно, что наибольших значений окружное напряжение достигает в точках внутренней поверхности

радиуса r1 :

σ		= p	r 2	+ r 2
	t max		2	1
			r 2	−r 2

			2	1 .

При этом радиальное напряжение, как следует из (2.8.13), равно σn max = −p .

Так как расчет статической прочности следует выполнять для наиболее нагруженных точек, то условие прочности по теории максимальных касательных напряжений (2.7.23) записывается в виде

=σ

−σ

= p

r 2

+ r 2

−(−p) = p

2r 2

t max

n max

r 2

−r 2

r 2

−r 2

1 .

(2.8.14)

2) Цилиндр нагружен только внешним давлением. Граничные условия в этом случае имеют вид

σn (ρ = r1 ) = 0 , σn (ρ = r2 ) = −p ,

так что из (2.8.11) следует

σ			= −			pr 2			(1 −	r 2			)
	n						2			1
				r 2			−r	2		ρ2
				r 2			−r	2		ρ2				,
				2			1							,
σ			= −			pr 2			(1 +		r 2			)
		t					2				1
					r	2	−r 2				ρ	2
					r	2	−r 2				ρ	2		.	(2.8.15)
				2				1						.	(2.8.15)

Рис. 2.8.5

Из графиков изменения напряжений σ n и σt по толщине цилиндра, изображенных на рис. 2.8.5, видно,

что эквивалентное напряжение σe = σ n −σt достигает наибольшего значения на внутренней поверхности

цилиндра, т. е. при ρ = r1 . Величина этого напряжения, согласно гипотезе наибольших касательных напряжений (2.7.23), определяется по формуле

σ		= 0 −(−p		2r 2		) = p	2r 2
	e				2			2
				r 2	−r 2		r 2	−r 2	(2.8.16)
				r 2	−r 2		r 2	−r 2
				2	1		2	1 .
Полученное выражение (2.8.16) полностью совпадает с результатом аналогичного расчета, проведенного
для случая нагружения внутренним давлением.
В том случае, если радиус внутреннего отверстия r1			= 0 (т. е. толстостенный цилиндр превращается в

сплошной вал), то, как следует из (2.8.16), напряжения в цилиндре будут распределены равномерно:

σn =σt = −p .

Расчет напряженно - деформированного состояния составных цилиндров. Этот случай интересен прежде всего в связи с вариантом соединения деталей натягом (см. далее главу 4.2.1 ). При такой сборке одна из деталей (вал) имеет внешний диаметр, величина которого больше, чем диаметр отверстия другой, сопряженной с валом, детали. Соединения с натягом широко используются для сборки деталей, представляющих собой тела вращения.

Процесс сборки такого соединения связан с созданием натяга δ за счет деформаций сопряженных

деталей. Присвоим наружной детали индекс 2 , а внутренней - 1. Тогда численно натяг равен разности
δ = u2 −u1 ,	(2.8.17)
где u2 - увеличение радиуса отверстия; u1 - уменьшение радиуса вала.

После сборки на контактирующих поверхностях появляется давление, абсолютную величину которого

обозначим через p0 . Следовательно, с учетом (2.8.12) в предположении, что сопрягаемые детали изготовлены из одинакового материала, получаем

u =		2 p			0			r12 ρ					u		=	2 p			0				r22 ρ
u =			E				ρ2 −r 2						u		=		E			ρ2 −r 2
1			E				ρ2 −r 2							2			E			ρ2 −r 2						(2.8.18)
										1	,													2 .		(2.8.18)
Вычисляя далее значениеδ подстановкой (2.8.18) в (2.8.17) и выражая оттуда																						p0 , находим
		p		0	=			Eδ (ρ2				−r12 )(r22 − ρ2 )
		p			=			2		ρ3			r 2		−r 2
								2		ρ3			r 2		−r 2
													2			1								.		(2.8.19)
																								.		(2.8.19)
В том случае, когда детали изготавливаются из различных материалов, формула (2.8.19) приобретает вид
			p0 =										δ

									2ρ(C		01	/ E +C				02		/ E			2		)	,		(2.8.20)
											01		1			02					2			,		(2.8.20)
где
C				=		ρ2				+ r 2	− µ				C				=			ρ		2 + r 2	+ µ
	01									1			1				02							2		2
							ρ −r 2																ρ −r 2
							ρ −r 2																ρ −r 2
										1			;											2		.

Расчет напряженно - деформированного состояния тонкостенных осесимметричных оболочек. Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других (сравним: брусом, как известно, называется тело, одно из измерений которого, а именно длина, значительно больше двух других). Геометрическое место точек, равноотстоящих от наружной и внутренней поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность является плоскостью, то оболочка превращается в пластину.

Геометрия оболочки определяется формой срединной поверхности и законом изменения толщины этой оболочки. На практике все оболочки имеют, как правило, постоянную толщину, малую по сравнению с наименьшим радиусом кривизны поверхности. Тонкостенные оболочки можно рассматривать как противоположный предельный случай относительно толстостенных цилиндров. В частности, осесимметричной тонкостенной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности. Примерами машиностроительных объектов, моделируемых при расчете тонкостенными оболочечными конструкциями, являются различного рода резервуары, котлы, баки, цистерны, газгольдеры, многие строительные сооружения и др. Важной особенностью таких оболочек является то, что действующие на их внутреннюю поверхность силовые факторы перпендикулярны этой поверхности и симметричны относительно оси оболочки. В этой связи при расчете также, как и для толстостенных цилиндров, можно пренебречь деформациями изгиба поверхности оболочки. Такая теория, построенная в предположении отсутствия изгиба оболочки, называется безмоментной теорией. Отличие от случая толстостенного цилиндра будет состоять в том, что у оболочки напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно.

Следует отметить, что на практике часто приходится иметь дело с недостаточно тонкими оболочками или с оболочками, имеющими локальные изломы, жесткие закрепления, точки приложения сосредоточенных сил и моментов. В окрестностях таких мест, разумеется, возникает изгиб, однако по мере удаления от них изгибные деформации быстро затухают, поэтому вдали от мест локальных возмущений расчет оболочки допустимо производить при указанных выше предположениях.

Рис. 2.8.6

Рассмотрим тонкостенную осесимметричную оболочку толщины δ , подвергающуюся действию

внутреннего давления p , перпендикулярного ее поверхности (рис. 2.8.6). Введем некоторые обозначения: ось оболочки - ось поверхности вращения; меридиональная плоскость - плоскость, проходящая через ось оболочки;

окружная плоскость - плоскость, перпендикулярная оси оболочки; меридиональное сечение - сечение оболочки меридиональной плоскостью; окружное сечение - сечение оболочки конической поверхностью, нормальной к ее срединной поверхности, вершина которой лежит на оси; меридиан - линия пересечения срединной поверхности с осевой плоскостью.

Выделим из оболочки двумя парами бесконечно близких меридиональных и окружных конических сечений бесконечно малый элемент dV . Будем считать, что при нагружении оболочки на гранях этого элемента

появляются нормальные меридиональное (направленное по дуге меридиана) σm и окружное σt напряжения. Для нахождения зависимостей между возникающими напряжениями исследуем равновесие выделенного

элемента (рис 2.8.7). На рисунке приняты следующие обозначения: точки A, B, C и D , принадлежащие

ρm =

′′

O A

O B

срединной поверхности, равноудалены от наружной и внутренней поверхностей оболочки;

′

- радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности ABCD ; ρt =

O B

O C

- радиус кривизны

нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана (равный отрезку нормали к срединной поверхности,

заключенному между этой поверхностью и осью оболочки); O′ и O′′ - центры кривизны меридиана и лежащего на оси окружного сечения соответственно; ds1 и ds2 - площади граней AD ( BC ) и AB ( CD ).

Рис. 2.8.7

Ясно, что вследствие осевой симметрии самой оболочки и приложенной к ней нагрузки на боковых гранях

AB и CD , параллельных меридиональным плоскостям, касательные напряжения отсутствуют; на этих гранях

действуют только нормальные (окружные) напряжения σt . Что же касается граней BC и AD , то на них в соответствии с законом парности касательных напряжений эти напряжения также равны нулю, и, следовательно,

грани испытывают действие лишь меридиональных напряжений σm . Кроме того, к рассматриваемому элементу

оболочки перпендикулярно поверхности ABCD приложено внутреннее давление p , постоянное во всех точках поверхности для оболочек, заполненных газом, и переменное в направлении меридиана в случае жидкого

наполнителя.

Уравнение равновесия выделенного бесконечно малого элемента оболочки в проекциях на нормаль к срединной поверхности ABCD , как следует из рис. 2.8.7, имеет вид

pds ds

−2σ

δ ds

sin

dθt

−2σ

δ ds

sin

dθm

= 0

(2.8.21)

dθt

dθm

Поскольку углы 2

и 2 малы, то, как обычно, их синусы можно заменить значениями этих углов,

так что

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Основы проектирования машин

#
01.05.2014191.23 Кб65ГЛАВА 2.3.pdf
#
01.05.2014461.33 Кб65ГЛАВА 2.4.pdf
#
01.05.2014318.14 Кб65ГЛАВА 2.5.pdf
#
01.05.2014338.57 Кб65ГЛАВА 2.6.pdf
#
01.05.2014304.13 Кб71ГЛАВА 2.7. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ.pdf
#
01.05.2014282.97 Кб69ГЛАВА 2.8.pdf
#
01.05.2014297.19 Кб65ГЛАВА 2.9.pdf
#
01.05.2014250.52 Кб69ГЛАВА 3.1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ.pdf
#
01.05.2014234.03 Кб67ГЛАВА 3.2.pdf
#
01.05.2014272.16 Кб71ГЛАВА 3.3.pdf
#
01.05.2014252.71 Кб67ГЛАВА 3.4.pdf