Основы проектирования машин / ГЛАВА 2

ГЛАВА 2.4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ

Сдвиг. Сдвигом называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях действует только поперечная сила, приводящая к сдвигу частей тела друг относительно друга вдоль линии действия этой силы. Такая перерезывающая сила может быть, например, результирующей двух одинаковых по величине и противоположных по направлению бесконечно близко расположенных сил, которые вызывают срез тела по сечению, находящемуся между ними. Если при этом на гранях выделенного элементарного объема

(параллелепипеда) возникают только лишь касательные напряжения τ , то такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. В этом состоянии длины ребер элементарного параллелепипеда остаются

неизменными, меняются только углы между первоначально прямыми боковыми гранями на угол γ , называемый относительным сдвигом.

Эксперименты, проведенные на брусьях с различными поперечными сечениями, показали наличие

линейной зависимости касательных напряжений сдвига τ от угла поворота γ . Такая зависимость справедлива при отсутствии пластических деформаций и может быть интерпретирована как закон Гука, записанный для случая

сдвига:

Здесь G - модуль сдвига, или модуль упругости кручения, который, как будет показано ниже, связан с модулями упругости E и µ .

Рис. 2.4.1

Рассмотрим испытывающий чистый сдвиг элемент в виде трехгранной призмы, вырезанный из пластины (рис. 2.4.1а). На гранях этой призмы действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани - нормальное напряжение и касательную -касательное. В свою очередь, касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям. В результате на каждой грани действуют три напряжения, для обозначения которых используется два индекса. Первый индекс указывает ось, вдоль которой направлена внешняя нормаль к площадке, а второй - ось, параллельно которой направлено напряжение. Так как в обозначениях нормальных напряжений присутствуют два одинаковых индекса, обычно оставляют один из них.

Определим нормальное σα и касательное τα напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой составляет уголα с осью ОХ (рис. 2.4.1b). Если площадь этой площадки обозначить через Aα , то

площадь ее проекции на направление оси x равна Aα sinα , а на перпендикулярное направление - Aα cosα

. Спроектировав все силы на направление нормали к наклонной площадке (рис. 2.4.1b), из условия равновесия получаем

σα A −τ xy Acosαsinα −τ xy Asinαcosα = 0 ,

или

Из (2.4.3) видно, что касательные напряжения на площадках, наклоненных под углом π / 4 , равны нулю. Таким образом, этот угол определяет положение главных площадок. Как отмечено в главе 2.2, напряжения главных

Из (2.4.4) следует, что чистый сдвиг представляет собой такое напряженное состояние, при котором первое и третье главные напряжения равны по величине, но противоположны по знаку, а второе главное напряжение равняется нулю.

Записывая закон Гука (2.4.1) применительно к условиям чистого сдвига, можно вычислить модуль сдвига

G . Для этого рассмотрим деформацию квадратного элемента со стороной a при чистом сдвиге (рис. 2.4.2).

Очевидно, что касательные напряжения вызовут перемещение его верхней грани на величину ∆S . Если угловое смещение обозначить черезγyz , то для малых угловых деформаций имеем

Из геометрических соображений ясно, что

A′′A′

∆S = cos(450 ) = 2∆lOA ,

или, с учетом (2.4.5),

Для того чтобы определить относительное удлинениеεOA , необходимо рассмотреть элементарную

площадку, две грани которой параллельны OA , т. е. главную площадку, на гранях которой будут действовать только нормальные напряжения. Относительное удлинение в случае нормального нагружения в соответствии с

обобщенным законом Гука (2.2.6) имеет вид

Таким образом, на основании проведенного расчета можно сделать вывод о том, что с целью получения общих зависимостей закон Гука (2.2.6), сформулированный для чистого растяжения (сжатия), следует дополнить

описывающими чистый сдвиг зависимостями (2.4.12), в которых модуль упругости G связан с модулем упругости

E и коэффициентом Пуассона µ соотношением (2.4.11).

Кручение. Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса

возникает только крутящий момент M t , а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающий момент) равны нулю. Кручение элемента конструкции происходит при нагружении его внешними

моментами вращения (парами сил) T , плоскости действия которых нормальны по отношению к продольной оси этого элемента.

Для определения крутящего момента в заданном сечении применяется метод сечений, с помощью которого легко установить общее правило: внутренний крутящий момент в любом сечении бруса произвольной поперечной

конфигурации численно равен алгебраической сумме внешних моментов вращения T , лежащих по одну сторону от рассматриваемого сечения. В связи с этим возникает необходимость определиться со знаками моментов.

Принято считать, что если крутящий момент направлен против часовой стрелки относительно конца внешней к сечению нормали, то он положителен.

Расчет бруса на кручение заключается в нахождении возникающих в нем напряжений и угловых перемещений в зависимости от приложенных силовых факторов. При этом решение задачи кручения в значительной степени зависит от формы поперечного сечения бруса. Строго говоря, аналитический расчет бруса на кручение может быть проведен только для небольшого класса относительно простых поперечных сечений, в общем же случае требуется привлечение численных методов.

Кручение брусьев круглого поперечного сечения. Под круглым будем понимать сечение, у

которого внешняя и внутренняя границы являются концентрическими окружностями (рис. 2.4.3а).

Теория кручения брусьев круглого поперечного сечения основывается на следующих предположениях: поперечные сечения бруса, плоские до закручивания, остаются таковыми и после (гипотеза плоских сечений); каждое из сечений лишь поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как единое целое, причем угол поворота для различных сечений будет различным, а радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют длину.

находится в равновесии, то сумма моментов сил относительно начала координат должна равняться нулю, а именно

Рис. 2.4.3

Полученное выражение (2.4.14) говорит о том, что на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения численно равны и направлены таким образом, что вызывают появление моментов противоположных знаков. Это простое правило получило название закона парности касательных напряжений.

радиусами ρ и ρ + dρ выделим из бруса элементарное кольцо. Касательные напряжения, действующие на

Рис. 2.4.6

Интегрируя (2.4.17) по радиусу в пределах от 0 до r , получаем значение крутящего момента внутренних сил, уравновешенного внешним моментом вращения:

M t = ∫r τρ 2πρ2 dρ

0 (2.4.18)

Для дальнейших вычислений необходимо заметить, что из закона Гука (2.4.1) и определения

относительного угла закручивания (2.4.16) следует линейная зависимость касательных напряжений τρ от расстояния до центра круга, а именно

Подынтегральное выражение в правой части (2.4.20) может быть записано в виде суммы произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от их центра тяжести до оси:

∫r 2πρ3 dρ = ∫ρ2 dA

где A - площадь поперечного сечения рассматриваемого бруса.

Согласно (2.3.6) правая часть соотношения (2.4.21) представляет собой полярный моментом инерции I p ,

который играет важную роль в расчетах на прочность. С учетом этого обстоятельства формула (2.4.20) принимает вид

Если ввести в рассмотрение понятие полярного момента сопротивления Wp , равного

то наибольшее значение τmax касательных напряжений согласно (2.4.22) и (2.4.23) определится из выражения

Попутно с помощью (2.4.5) и (2.4.24) можно записать выражение для относительного угла закручивания θ :

Зная величину наибольшего касательного напряжения τmax , легко записать условие прочности для случая чистого сдвига:

где τa - допускаемое касательное напряжение. Значение этого напряжения может быть выражено через нормальное главное напряжение, подсчитанное в соответствии с одной из гипотез прочности (см. главу 2.7 ). В

заключение приведем выражения для полярных моментов сопротивления и инерции практически важных сечений

(рис. 2.4.7a - c).

Рис. 2.4.7

1. Круг сплошного поперечного сечения диаметром D (рис. 2.4.7a):

π D3

Wp = 16 ;

2. Круглое поперечное сечение диаметром D с отверстием диаметром d (рис. 2.4.7b):

Кручение круглых брусьев переменного поперечного сечения при произвольном нагружении и закреплении. Для расчета напряженно - деформированного состояния бруса переменного круглого сечения необходимо знать величины крутящих моментов в каждом его сечении, т. е. построить эпюры этих моментов аналогично тому, как это было сделано в случае центрального растяжения (сжатия).

В качестве примера рассмотрим нагружение ступенчатого вала переменного круглого поперечного сечения группой моментов вращения. На рис. 2.3.8 изображены эпюры крутящих моментов и наибольших касательных напряжений, построенные методом сечений (отметим, что поддерживающие вал опоры не оказывают влияния на характер и величины моментов кручения). По известному закону распределения моментов и геометрическим размерам вала легко рассчитать углы закручивания и их изменение по длине вала.

Рис. 2.4.8.

Задача построения эпюр крутящих моментов несколько усложняется, когда нагруженная конструкция является статически неопределимой. Примером такого случая нагружения является жестко закрепленная на обоих концах балка круглого поперечного сечения (рис. 2.4.9). Для того чтобы рассчитать напряженное состояние балки,

необходимо определить реактивные моменты X1 и X 2 , возникающие в жестких заделках. В качестве первого уравнения, как обычно, выступает уравнение равновесия,

3T + T − X1 − X 2 = 0 .

Рис. 2.4.9.

Второе уравнение представляет собой условие совместности деформаций, которое отражает тот факт, что поворот сечения в заделке отсутствует:

Учитывая, что полярные моменты инерции сечений балки, согласно (2.4.27), связаны соотношением

I p1 =16I p2 , окончательно из уравнений равновесия и совместности деформаций получаем

Кручение брусьев произвольной геометрической формы. Механизм кручения сильно усложняется, если поперечное сечение не является круглым. Методы расчета, описанные выше, не могут быть применены к решению задач кручения брусьев произвольной формы. Так, гипотеза плоских сечений, согласно которой сечения после деформации остаются плоскими, в случае кручения стержней некруглого поперечного сечения оказывается неприменимой, поскольку на самом деле эти сечения искривляются - возникает так называемое явление депланации. Для депланации характерно то, что одни волокна стержня удлиняются, в то время как другие - укорачиваются.

Рис. 2.4.10

Возникающие трудности при корректном описании кручения стержней произвольной геометрической формы приводит к тому, что аналитические решения получены применительно к ограниченному классу задач и носят частный характер. Только численные методы, такие как метод конечных разностей, метод конечных элементов (МКЭ) и другие, могут быть эффективно использованы для расчета кручения любых по сложности поперечных сечений. Наиболее распространенным из них является МКЭ. С его помощью, например, выполнен расчет касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения (рис. 2.4.10a).

Задача расчета напряжений при кручении прямоугольного сечения является крайне важной. По этой причине приведем некоторые результаты ее решения, полученные методами теории упругости.

Рассмотрим сечение в форме прямоугольника со сторонами b и h , b < h (рис. 2.4.10a). Можно показать, что наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных сторон прямоугольника. По

абсолютной величине эти напряжения равны

Подчеркнем, что здесь изменение касательных напряжений по сечению имеет нелинейный характер. Относительный угол закручивания согласно (2.4.25) может быть записан как