Основы проектирования машин / ГЛАВА 2

Рис. 2.3.1

Sy = ∫xdA

A

.

(2.3.1)

где

ρ

- расстояние от начала координат до текущей точки. Так как

ρ2 = x2

+ y2

то выражение (2.3.6)

,

принимает вид

∫ρ2dA = ∫y2dA +∫x2dA

A

A

A

,

или, с учетом (2.3.4),

I p = Ix + I y

.

(2.3.7)

Таким образом, согласно (2.3.7) полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции

относительно взаимно перпендикулярных осей. При повороте осей полярный момент не меняется, а

следовательно, остается постоянной и сумма осевых моментов, т. е.

I x

+I y = I x

+I y = const

1

1

.

Геометрические характеристики практически важных сечений. Рассчитаем моменты инерции

некоторых наиболее часто встречающихся на практике сечений.

1. Моменты инерции относительно осей симметрии для прямоугольника со сторонами b и h находим,

выделяя на расстоянии y элементарную прямоугольную площадку толщиной dy (рис. 2.3.3), тогда:

h/2

Ix

= ∫y2 dA = ∫y2bdy = bh3

A

0

12 ;

I y

=

hb3

12 .

(2.3.8)

Рис. 2.3.3

2. Осевой момент для круглого сечения радиуса R (рис. 2.3.4) легко рассчитать через полярный,

который, в свою очередь, находится с помощью выделения на расстоянии ρ элементарного кольца толщиной dρ

с площадью dA = 2πρ dρ , что при дальнейшем суммировании в соответствии с (2.3.6) дает

R

4

4

I p = ∫ρ2 dA = ∫2πρ3dρ = π R

= π

D

A

0

2

32

.

Тогда, обозначив R = D/ 2 , имеем

I x = I y

= I p / 2 =

π D4

64 ,

(2.3.9)

Рис. 2.3.4

I.

Если оси координат, проходящие через центр тяжести сечения

(xc , yc )

, перемещаются параллельно,

то координаты текущей точки в новой системе координат равны x +x c

и y + yc

(рис. 2.3.5). Тогда осевой

момент

I x принимает вид

Ix = ∫(y + yc )2 dA = ∫y2dA +2yc ∫ydA + yc2 ∫dA

A

A

A

A

(2.3.10)

I xc = ∫y2dA

S xc = ∫ydA =0

A = ∫dA

A

,

A

,

A ,

(2.3.11)

I x = I x

c

+ yc

2 A

(2.3.12)

.

Аналогично для центробежного момента

I xy

имеем

Ixy = ∫(y + yc )(x + xc )dA = ∫xydA + xc ∫ydA + yc ∫xdA + xc yc ∫dA

A

A

A

A

A .

(2.3.13)

Рис. 2.3.5

Поскольку

I xc yc

= ∫xydA

S yc

= ∫xdA =0

S xc

= ∫ydA =0

A

,

A

,

A

,

то выражение (2.3.13)

переписывается как

I xy = I xc yc +xc yc A

(2.3.14)

.

II. При повороте осей на угол α координаты произвольной точки в повернутой системе координат x′, y′

равны (рис. 2.3.6)

x1 = x cosα + y sinα ; y1 = y cosα − x sinα .

(2.3.15)

I x

= I x

cos2 α +I y

sin 2 α −I xy sin 2α

(2.3.16)

1

.

По аналогии с (2.3.16) имеем

I y

= I x

sin 2 α +I y cos2 α +I x y sin 2α

(2.3.17)

1

.

Для практических расчетов вместо (2.3.16) - (2.3.17) удобнее использовать иную форму записи, которая

получается при проведении тождественных тригонометрических преобразований

cos2 α = (1 +cos2α) / 2

,

sin2 α = (1 −cos2α) / 2

:

I

=

I x +I y

+

I x

−I y

cos2α −I

sin 2α

xy

x1

2

2

,

I y

=

I x

+I y

−

I x

−I y

cos2α +I xy sin 2α

1

2

2

.

(2.3.18)

Аналогично для центробежного момента

I x

y

можно написать

1

1

I x1 y1 = ∫(x cosα + y sinα)( y cosα − x sinα)dA

A

,

I x1

y1 =

I x − I y

sin 2α + I xy cos2α

2

(2.3.19)

.

Главными осями назовем оси, в направлении которых центробежный момент равен нулю. Приравнивая

нулю правую часть выражения (2.3.19), можно определить угол наклона главных осей α0 :

tg2α0 =

2Ixy

I y

− Ix

.

(2.3.20)

dI x1

=0 =(I y −I x ) sin 2α −2I xy cos2α

dα

.

(2.3.21)

I0

=

Ix

+ I y

+

Ix − I y

cos2α

0 − Ixy sin2α0

2

2

.

(2.3.22)

I xy

из (2.3.20), получаем

Подставляя в (2.3.22) значение центробежного момента

I0 =

Ix + I y

+

Ix − I y

cos2α0

+

(

Ix

− I y

sin

2α

0

)sin2α0 =

Ix + I y

+

Ix − I y

1

2

2

2

2

2

cos2α0 .

cos2α0

1

= ±

1+tg2 2α0

Принимая во внимание, что cos2α0

, с учетом (2.3.20) имеем:

1

= ±

1

(Ix − I y )2 +4Ixy 2

cos2α

0

Ix − I y

,

Imax,min =

I x + I y

±

1

(I x − I y )

2

2

2

2

+4I xy

.

(2.3.26)