Основы проектирования машин / ГЛАВА 2

Удлинение стержня приводит также к уменьшению его поперечных размеров, что, в свою очередь характеризуется относительными поперечными деформациями εx и εy :

где E - коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости, или модулем Юнга, а фактическая его величина зависит от механических свойств материала.

Важной характеристикой прочности материала является также коэффициент Пуассона µ . Величина этого коэффициента определяется абсолютным значением отношения поперечной деформации к продольной,

Очевидно, что растяжение в направлении приложения нормальной силы вызывает удлинение в этом направлении и сжатие в перпендикулярном. Вот почему для случая нормального нагружения в трех взаимно перпендикулярных плоскостях соотношения для расчета относительных удлинений с учетом (2.2.3) принимают вид

εx = σEx − µ(σEy + σEz ) ,

εz = σEz − µ(σEx + σEy ) .

Выражение (2.2.6) получило название обобщенного закона Гука.

Линейная зависимость, определенная законом Гука, справедлива только для области упругих деформаций и нарушается при появлении признаков пластического деформирования (напомним, что под пластическим деформированием понимается такой случай нагружения, при котором деформированное состояние тела не возвращается в исходное после снятия внешней нагрузки). Для того чтобы разобраться в характере разрушения и найти количественные характеристики прочности материала, его испытывают на растяжение (сжатие). На рис. 2.2.2 изображена типичная кривая, полученная при испытании на растяжение образцов из низколегированных сталей.

Здесь на участке OA сохраняется прямая пропорциональная зависимость, а координаты точки A определяют

предел пропорциональности. Участок BC характеризуется появлением пластических деформаций, которые растут даже без приложения нагрузки. Это явление называют текучестью материала, а напряжение,

соответствующее точке C , - пределом текучести σr . На участке CD напряжение возрастает и в точке D достигает максимального значения. Дальнейшее удлинение приводит к разрушению материала. Напряжение,

соответствующее точке D , носит название предела прочностиσb . Для материалов из высоколегированной стали нет явно выраженной площадки текучести, а потому используется понятие условного предела текучести

(рис. 2.2.3), за который принимают напряжения, при которых остаточная деформация равна ε = 0,002 . Для хрупких материалов явление текучести вообще не имеет место, а кривая растяжения имеет вид, показанный на

рис. 2.2.4.

Допускаемые напряжения и условие прочности. Очевидно, что, имея результаты испытаний материала на растяжение (сжатие), можно определить границы возможного нагружения, или, как их называют на

практике, допускаемые напряжения по текучести σar и прочности σab , величины которых рассчитываются по формулам

где nr , nb - коэффициенты запаса статической прочности (подробнее о коэффициентах запаса см. в главе 2.7 ).

Одним из важнейшим критерием расчета любой механической конструкции является условие прочности. Оно считается выполненным, если фактически действующее напряжение не превышает допускаемое. Поэтому условие прочности имеет вид:

Распределение нормальных напряжений и осевых сил. Растяжение (сжатие) характеризуется величинами нормальных напряжений, возникающих от действия внешних нагрузок. Поскольку напряжения меняются по длине стержня, то для того чтобы иметь полную информацию об его напряженном состоянии, необходимо построить график распределения нормальных напряжений по длине. Такой график называется эпюрой. Для построения эпюр напряжений растяжения и растягивающих сил можно воспользоваться методом сечений ( глава 2.1 ). На рис. 2.2.5a изображен жестко закрепленный одним концом стержень, состоящий из двух участков с

различными поперечными сечениями, который нагружен парой центральных сил F1 и F2 . Площади поперечных

сечений обозначим через A1 и A2 . Как уже упоминалось выше, для нахождения внутренних усилий в некотором текущем сечении необходимо мысленно разрезать брус в этом сечении и рассмотреть равновесие отсеченной

части. Проделав эту процедуру дважды - для сечений I и II (рис. 2.2.5b,c) - легко построить эпюры усилия растяжения (рис. 2.2.5d) и нормального напряжения (рис. 2.2.5e).

Напряжения в наклонных сечениях. Испытания на растяжение (сжатие) помогают также сделать вывод относительно характера процесса разрушения. Для этого рассмотрим напряжения, возникающие на

наклоненной под углом α к оси площадке бруса, растянутого продольной силой F (рис. 2.2.6). Равнодействующая внутренних сил в этом наклонном сечении направлена вдоль оси стержня и равна внешней

растягивающей силе F . Представим эту равнодействующую в виде суммы проекций Nα и Qα на два взаимно-перпендикулярных направления (в плоскости сечения и перпендикулярно к нему),

Рис. 2.2.6

Nα = F cosα , Qα = F sinα .

Если площадь поперечного сечения бруса обозначить через A , то площадь наклонной площадки равна

Aα = A/ cosα , а напряжения на этой площадке -

где σ = F / A . Напряжения σα и τα являются соответственно нормальными и касательными напряжениями в наклонном сечении.

Нормальные напряжения σα , действующие на наклонной площадке, согласно (2.2.9) достигают

максимальной величины при α = 0 , причем σmax =σ . Заметим, что при этом значении угла касательные напряжения отсутствуют. Площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, называются

главными площадками, а сами эти напряжения - главными напряжениями. Таким образом, расчет прочности стержней в условиях упругого растяжения следует проводить по нормальным напряжениям в поперечных сечениях.

Вызывающие относительный сдвиг слоев материала касательные напряжения τα , как следует из (2.2.9),

максимальны при α =π / 4 и α = 3π / 4 , τmax =σ / 2 . При этом нормальные напряжения в этих сечениях по величине равны касательным.

Эксперименты показали, что поверхности разрушенных при растяжении (сжатии) стержней, как правило,

наклонены под углом α =π / 4 , поэтому именно наибольшие касательные напряжения можно с уверенностью

назвать главной причиной разрушения материалов.

При α =π / 2 (т. е. на продольных площадках) отсутствуют как нормальные, так и касательные напряжения. Это означает, что продольные слои стержня не взаимодействуют между собой.

Решение статически неопределимых задач при растяжении (сжатии). Рассмотренные выше методы определения внутренних силовых факторов далеко не всегда оказываются достаточными для решения всего многообразия задач растяжения (сжатия) механических стержневых конструкций. В инженерной практике часто встречаются так называемые статически неопределимые системы, у которых имеется большое число наложенных связей. В этом случае для определения внутренних силовых факторов (реакций) одних уравнений статического равновесия оказывается недостаточно. Разность между числом реакций и числом возможных независимых уравнений равновесия называется степенью статической неопределимости. Найти все неизвестные силы (или, как говорят, раскрыть статическую неопределимость) можно, дополнив систему уравнений статики - например, условиями совместности деформаций (подробнее о методах решения статически неопределимых задач будет сказано в главе 2.6 ).

Рис. 2.2.7

Рассмотрим принцип составления уравнений совместности деформаций на простом примере нагружения стержня, аналогичного изображенному на рис. 2.2.5a, только жестко заделанного с обеих сторон (рис. 2.2.7a). Для

решения задачи устраним внешние опоры, заменив их действие силами реакции X1 и X 2 , и рассмотрим равновесие стержня (рис. 2.2.7b). Ясно, что данная система однократно статически неопределима, поскольку две

реакции опор не могут быть найдены из одного уравнения статического равновесия:

F1 + F2 − X1 − X2 = 0 .

Уравнение совместности деформаций должно выражать тот очевидный факт, что в условиях жесткого закрепления общее удлинение стержня, т. е. смещение одного из торцов относительно другого, равно нулю:

Решая систему полученных уравнений, имеем

Другой пример статически неопределимой стержневой системы из трех стержней одинаковых сечений,

нагруженных вертикальной силой F , приведен на рис. 2.2.8. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид

Для того чтобы записать условие совместности перемещений, нужно рассмотреть деформированное состояние данной стержневой системы, которое характеризуется смещением узловой точки на некоторую величину

δ1 = OO′ . Будем считать, что деформации малы, т. е. угол OO′B2 = OO′B3 = β . Очевидно, что при этом перемещения боковых стержней связаны с перемещением центрального выражением

δ2 = δ3 = B2O′ = B3O′ = δ1 cos β

или

Потенциальная энергия деформации. Рассмотрим стержень длиной l с постоянным поперечным сечением A , испытывающий чисто осевое нагружение силой F (рис. 2.2.9a). Внешняя сила совершает работу

WF , величина которой численно равна потенциальной энергии U , накопленной стержнем. Работа внешней силы, в свою очередь, равняется площади под кривой, описывающей зависимость деформации от нагрузки. Поскольку

такая зависимость при отсутствии пластических деформаций, как следует из закона Гука, линейна (рис. 2.2.9b), то

вообще говоря, определяется интегрированием (2.2.10) по всем элементарным участкам, но в данном случае вследствие прямой пропорциональности между силой и перемещением численно равна площади треугольника

OM1M :

Отметим, что в дальнейшем при вычислении работы внешней силы в условиях упругого нагружения

коэффициент 1/ 2 будем ставить без подробных объяснений. Подставляя в (2.2.11) выражение для ∆l из закона Гука (2.2.3), с учетом (2.2.1) получаем

взаимно-перпендикулярных направлениях, называется трехосным растяжением (сжатием). Рассмотрим элемент объема в виде параллелепипеда dV = dxdydz , по граням которого действуют нормальные напряжения σ x ,

σ y , σ z (рис. 2.2.10). Для того чтобы определить энергию деформации, накопленную параллелепипедом,

воспользуемся выражением (2.2.10). Если перемещения граней обозначить как ∆dx, ∆dy и ∆dz , то энергия dU элементарного объема может быть рассчитана по формуле

или

Рис. 2.2.10