Основы проектирования машин / ГЛАВА 2
.1.pdfГЛАВА 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Внутренние силовые факторы и деформация. Метод сечений. Закрепленное и нагруженное внешней нагрузкой тело (например, деталь механической конструкции) деформируется. Под деформацией понимается изменение линейных размеров и формы тела в результате внешнего нагружения. Если после снятия внешней нагрузки тело принимает первоначальную форму и сохраняет прежние линейные размеры, то деформация считается упругой, если же после снятия внешней нагрузки формы и размеры тела восстанавливаются не полностью - упруго - пластической. Деформация тела происходит потому, что вследствие приложенных к нему внешних силовых факторов возникают внутренние силы, которые, в свою очередь, и вызывают увеличение (уменьшение) расстояний между атомами металла, из которого оно изготовлено.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Рис. 2.1.1 |
|
|
|
|
|
||||
Для нахождения внутренних сил можно воспользоваться методом сечений. Рассмотрим тело произвольной |
|||||||||||||
формы, нагруженное системой внешних распределенных |
q |
и сосредоточенных |
F1 , F2 |
,K, Fk |
сил, |
||||||||
|
|
|
находящихся в равновесии. Мысленно рассечем это тело некоторой плоскостью на две части, I и II (рис. 2.1.1a), и рассмотрим равновесие одной из частей, например, I (рис. 2.1.1b). Силы воздействия отсеченной части
II тела на часть I являются по отношению к последней внешними, по отношению же к телу в целом – внутренними. Эти силы на основании закона Ньютона равны по величине и противоположны по направлению
внутренним силам, действующим на часть II со стороны части I . Следовательно, воздействие части I тела на
часть II |
можно заменить системой внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении. В общем случае |
|||||
взаимодействие частей тела описывается действующими по сечению результирующей внутренней силой |
||||||
Rr = Nr |
+Qrx |
+Qry , приложенной к центру O тяжести сечения и называемой главным вектором, и главным |
||||
моментом Mr |
= Mrt + Mrnx + Mrny внутренних сил относительно некоторой оси, проходящей через точку O . |
|||||
Каждая из составляющих внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении отвечает за |
||||||
определенный вид деформации: нормальная (или продольная) сила Nr |
вызывает растяжение или сжатие; |
|||||
поперечным (или перерезывающим) силам Qrx и Qry соответствует сдвиг; результатом действия крутящего |
||||||
момента |
Mr |
|
Mr |
и |
Mrny |
- его изгиб. |
t является кручение тела, а изгибающих моментов |
nx |
|
||||
Поскольку как тело в целом, так и обе его части I и II |
по отдельности находятся в равновесии, то можно |
утверждать, что внешние силы, действующие на часть I , и внутренние силовые факторы, приложенные к
отсеченной части II , статически эквивалентны друг другу, т. е. их проекции на любую ось равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Таким образом, если заданы приложенные к телу внешние силы, то
внутренние силовые факторы в любом сечении определяются с помощью уравнений равновесия (двух векторных или шести скалярных) как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела:
Rr = ∑FiI |
Mr = ∑MriI |
|
i ; |
i . |
(2.1.1) |
Применение метода сечений дает возможность отождествлять абсолютные величины проекций внутренних силовых факторов, действующих в искомом сечении со стороны одной из частей тела, со значениями внешних, приложенных к этой части тела.
Напряжения. Интенсивность внутренних сил, действующих на элементарной площадке, характеризуется
нормальным σ и касательным τ напряжениями (рис. 2.1.2a). Необходимость фактического разделения напряжений на нормальные и касательные вызвана тем обстоятельством, что они по-разному влияют на прочность - способность тела, детали либо конструкции сопротивляться внешним нагрузкам без их разрушения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
b) |
Рис. 2.1.2
Рассмотрим сечение некоторого тела плоскостью, проведенной в произвольной точке (рис. 2.1.2b).
Площадь полученного сечения обозначим через A . Нормальное напряжениеσ , действующее на элементарной
площадке ∆A , равно отношению модуля главного вектора ∆Rn распределенных нормальных сил к площади площадки ∆A при стремлении последней к нулю, а именно
σ = lim |
∆Rn |
|
∆A . |
|
|
∆A→0 |
(2.1.2) |
При определении касательных напряжений τ вместо главного вектора ∆Rn распределенных нормальных сил в (2.1.2) берется главный вектор ∆Rτ касательных сил:
τ = lim |
∆Rτ |
|
∆A→0 |
∆A . |
(2.1.3) |
Если через точку O провести секущую плоскость в другом направлении, то напряжение в той же точке будет другим. Совокупность нормальных и касательных напряжений для множества элементарных площадок,
проходящих через точку, полностью характеризуют напряженное состояние в этой точке. Определение этих напряжений представляет собой суть расчетов на прочность при статическом приложении нагрузки. За положительное направление напряжений принимается такое напряжение, которое совпадает с положительным направлением оси.
Перемещения и деформации. Для количественной характеристики деформированного состояния системы используются величины линейных и угловых перемещений точек системы, совершаемых под действием внешнего нагружения.
Пусть тело в начальном состоянии (до приложения внешней нагрузки) занимает в пространстве некоторую область V , а в результате какого-либо внешнего воздействия точки тела смещаются, так что тело ограничивается областью V ′ (рис. 2.1.3a). При этом произвольная точка A(x, y, z) переместится в положение точки
A′(x′, y′, z′). Вектор ur = AAr′, соединяющий начальное и конечное положения точки, называется ее
вектором линейного перемещения. Рассмотрим две бесконечно близкие точки A и B тела, расстояние между которыми в начальном состоянии равно ds (рис. 2.1.3.b). После деформации эти точки переместятся в положения
A′ и B′. В результате линейный элемент ds , ограниченный точками A и B , преобразуется в линейный элемент ds′ = ds + ∆s , ограниченный точками A′ и B′. Легко заметить также, что кроме линейного
изменения элемента ds имеет место его поворот в пространстве на некоторый угол, который определяет угловое перемещение.
a) |
|
|
b) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c)
Рис. 2.1.3
Отношение приращения ∆s длины отрезка AB к его первоначальной длине ds при стремлении
последней к нулю называется относительной линейной деформацией в точке A по направлению |
AB : |
||
εAB |
= lim |
∆s |
|
|
ds→0 |
ds . |
(2.1.4) |
|
|
|
|
|
|
εx ,εy |
и |
ε |
z . |
|
Деформации в направлении декартовых координатных осей обозначаются как |
|
|
||||||||
Рассмотрим теперь прямой уголγ , образованный в недеформированном теле двумя бесконечно малыми |
||||||||||
отрезками ds1 и ds2 , выходящими из точкиO параллельно осям OX и OY соответственно (рис. 2.1.3.с). |
||||||||||
После деформации тела этот угол изменяется и становится равным γ' . Предельная разность углов γ |
и γ' , |
|||||||||
выраженная в радианах, называется угловой деформацией (или углом сдвига) в точке O в плоскости |
XOY : |
|||||||||
|
|
γxy = lim |
(γ −γ′) |
|
|
|
|
|
||
|
|
ds |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds1 |
→0 |
. |
|
|
|
|
(2.1.5) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
εx ,εy |
,εz |
и угловых деформаций |
γ xy |
,γ yz ,γ xz |
по всем возможным |
|||||
Совокупностью линейных |
|
|
|
направлениям и плоскостям можно полностью характеризовать деформированное состояние текущей точки тела,
возникшее в результате действия внешней нагрузки.
Связь перемещений и деформаций. Связь между перемещениями и деформациями впервые была сформулирована Робертом Гуком в конце XVII-го века. В современной трактовке закон Гука устанавливает
линейную зависимость между деформацией тела в каждой его точке и напряжениями в этой же точке. При этом коэффициенты пропорциональности представляют собой физические константы материала как такового и не связаны с геометрией тела.
Важно подчеркнуть, что в соответствии с законом Гука прямая пропорциональная зависимость между перемещениями и напряжениями предполагается как при возрастании нагрузки, так и при ее убывании, что позволяет говорить об упругих свойствах тел, подчиняющихся этому закону.
Разумеется, закон Гука является приближенным. Для большинства конструкционных материалов (например, сталь) он выполняется с большой степенью точности в широком диапазоне изменения напряжений, в то время как, например, для чугуна и некоторых строительных материалов наблюдаются значительные отклонения от линейной зависимости напряжений и деформаций даже при небольшом уровне напряжений.
Принцип суперпозиции. Из закона Гука вытекает принцип суперпозиции, или независимости действия сил. В соответствии с этим принципом для механических систем, поведение которых описывается законом Гука,
результат суммарного воздействия всех силовых факторов равен сумме результатов действия каждого из силовых факторов в отдельности, причем вне зависимости от порядка их приложения. Под результатом силового воздействия понимаются внутренние силы и перемещения, возникающие в системе под действием внешнего нагружения.