Скачиваний:
61
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
234.28 Кб
Скачать

ГЛАВА 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Внутренние силовые факторы и деформация. Метод сечений. Закрепленное и нагруженное внешней нагрузкой тело (например, деталь механической конструкции) деформируется. Под деформацией понимается изменение линейных размеров и формы тела в результате внешнего нагружения. Если после снятия внешней нагрузки тело принимает первоначальную форму и сохраняет прежние линейные размеры, то деформация считается упругой, если же после снятия внешней нагрузки формы и размеры тела восстанавливаются не полностью - упруго - пластической. Деформация тела происходит потому, что вследствие приложенных к нему внешних силовых факторов возникают внутренние силы, которые, в свою очередь, и вызывают увеличение (уменьшение) расстояний между атомами металла, из которого оно изготовлено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1.1

 

 

 

 

 

Для нахождения внутренних сил можно воспользоваться методом сечений. Рассмотрим тело произвольной

формы, нагруженное системой внешних распределенных

q

и сосредоточенных

F1 , F2

,K, Fk

сил,

 

 

 

находящихся в равновесии. Мысленно рассечем это тело некоторой плоскостью на две части, I и II (рис. 2.1.1a), и рассмотрим равновесие одной из частей, например, I (рис. 2.1.1b). Силы воздействия отсеченной части

II тела на часть I являются по отношению к последней внешними, по отношению же к телу в целом – внутренними. Эти силы на основании закона Ньютона равны по величине и противоположны по направлению

внутренним силам, действующим на часть II со стороны части I . Следовательно, воздействие части I тела на

часть II

можно заменить системой внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении. В общем случае

взаимодействие частей тела описывается действующими по сечению результирующей внутренней силой

Rr = Nr

+Qrx

+Qry , приложенной к центру O тяжести сечения и называемой главным вектором, и главным

моментом Mr

= Mrt + Mrnx + Mrny внутренних сил относительно некоторой оси, проходящей через точку O .

Каждая из составляющих внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении отвечает за

определенный вид деформации: нормальная (или продольная) сила Nr

вызывает растяжение или сжатие;

поперечным (или перерезывающим) силам Qrx и Qry соответствует сдвиг; результатом действия крутящего

момента

Mr

 

Mr

и

Mrny

- его изгиб.

t является кручение тела, а изгибающих моментов

nx

 

Поскольку как тело в целом, так и обе его части I и II

по отдельности находятся в равновесии, то можно

утверждать, что внешние силы, действующие на часть I , и внутренние силовые факторы, приложенные к

отсеченной части II , статически эквивалентны друг другу, т. е. их проекции на любую ось равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Таким образом, если заданы приложенные к телу внешние силы, то

внутренние силовые факторы в любом сечении определяются с помощью уравнений равновесия (двух векторных или шести скалярных) как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела:

Rr = FiI

Mr = MriI

 

i ;

i .

(2.1.1)

Применение метода сечений дает возможность отождествлять абсолютные величины проекций внутренних силовых факторов, действующих в искомом сечении со стороны одной из частей тела, со значениями внешних, приложенных к этой части тела.

Напряжения. Интенсивность внутренних сил, действующих на элементарной площадке, характеризуется

нормальным σ и касательным τ напряжениями (рис. 2.1.2a). Необходимость фактического разделения напряжений на нормальные и касательные вызвана тем обстоятельством, что они по-разному влияют на прочность - способность тела, детали либо конструкции сопротивляться внешним нагрузкам без их разрушения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

b)

Рис. 2.1.2

Рассмотрим сечение некоторого тела плоскостью, проведенной в произвольной точке (рис. 2.1.2b).

Площадь полученного сечения обозначим через A . Нормальное напряжениеσ , действующее на элементарной

площадке A , равно отношению модуля главного вектора Rn распределенных нормальных сил к площади площадки A при стремлении последней к нулю, а именно

σ = lim

Rn

 

A .

 

A0

(2.1.2)

При определении касательных напряжений τ вместо главного вектора Rn распределенных нормальных сил в (2.1.2) берется главный вектор Rτ касательных сил:

τ = lim

Rτ

 

A0

A .

(2.1.3)

Если через точку O провести секущую плоскость в другом направлении, то напряжение в той же точке будет другим. Совокупность нормальных и касательных напряжений для множества элементарных площадок,

проходящих через точку, полностью характеризуют напряженное состояние в этой точке. Определение этих напряжений представляет собой суть расчетов на прочность при статическом приложении нагрузки. За положительное направление напряжений принимается такое напряжение, которое совпадает с положительным направлением оси.

Перемещения и деформации. Для количественной характеристики деформированного состояния системы используются величины линейных и угловых перемещений точек системы, совершаемых под действием внешнего нагружения.

Пусть тело в начальном состоянии (до приложения внешней нагрузки) занимает в пространстве некоторую область V , а в результате какого-либо внешнего воздействия точки тела смещаются, так что тело ограничивается областью V (рис. 2.1.3a). При этом произвольная точка A(x, y, z) переместится в положение точки

A(x, y, z). Вектор ur = AAr′, соединяющий начальное и конечное положения точки, называется ее

вектором линейного перемещения. Рассмотрим две бесконечно близкие точки A и B тела, расстояние между которыми в начальном состоянии равно ds (рис. 2.1.3.b). После деформации эти точки переместятся в положения

Aи B. В результате линейный элемент ds , ограниченный точками A и B , преобразуется в линейный элемент ds′ = ds + ∆s , ограниченный точками Aи B. Легко заметить также, что кроме линейного

изменения элемента ds имеет место его поворот в пространстве на некоторый угол, который определяет угловое перемещение.

a)

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

Рис. 2.1.3

Отношение приращения s длины отрезка AB к его первоначальной длине ds при стремлении

последней к нулю называется относительной линейной деформацией в точке A по направлению

AB :

εAB

= lim

s

 

 

ds0

ds .

(2.1.4)

 

 

 

 

 

 

εx ,εy

и

ε

z .

 

Деформации в направлении декартовых координатных осей обозначаются как

 

 

Рассмотрим теперь прямой уголγ , образованный в недеформированном теле двумя бесконечно малыми

отрезками ds1 и ds2 , выходящими из точкиO параллельно осям OX и OY соответственно (рис. 2.1.3.с).

После деформации тела этот угол изменяется и становится равным γ' . Предельная разность углов γ

и γ' ,

выраженная в радианах, называется угловой деформацией (или углом сдвига) в точке O в плоскости

XOY :

 

 

γxy = lim

(γ γ)

 

 

 

 

 

 

 

ds

0

 

 

 

 

 

 

 

 

ds1

0

.

 

 

 

 

(2.1.5)

 

 

2

 

 

 

 

 

εx ,εy

,εz

и угловых деформаций

γ xy

,γ yz ,γ xz

по всем возможным

Совокупностью линейных

 

 

 

направлениям и плоскостям можно полностью характеризовать деформированное состояние текущей точки тела,

возникшее в результате действия внешней нагрузки.

Связь перемещений и деформаций. Связь между перемещениями и деформациями впервые была сформулирована Робертом Гуком в конце XVII-го века. В современной трактовке закон Гука устанавливает

линейную зависимость между деформацией тела в каждой его точке и напряжениями в этой же точке. При этом коэффициенты пропорциональности представляют собой физические константы материала как такового и не связаны с геометрией тела.

Важно подчеркнуть, что в соответствии с законом Гука прямая пропорциональная зависимость между перемещениями и напряжениями предполагается как при возрастании нагрузки, так и при ее убывании, что позволяет говорить об упругих свойствах тел, подчиняющихся этому закону.

Разумеется, закон Гука является приближенным. Для большинства конструкционных материалов (например, сталь) он выполняется с большой степенью точности в широком диапазоне изменения напряжений, в то время как, например, для чугуна и некоторых строительных материалов наблюдаются значительные отклонения от линейной зависимости напряжений и деформаций даже при небольшом уровне напряжений.

Принцип суперпозиции. Из закона Гука вытекает принцип суперпозиции, или независимости действия сил. В соответствии с этим принципом для механических систем, поведение которых описывается законом Гука,

результат суммарного воздействия всех силовых факторов равен сумме результатов действия каждого из силовых факторов в отдельности, причем вне зависимости от порядка их приложения. Под результатом силового воздействия понимаются внутренние силы и перемещения, возникающие в системе под действием внешнего нагружения.

Соседние файлы в папке Основы проектирования машин