Основы проектирования машин / ГЛАВА 2

ГЛАВА 2.6. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

Действующая на тело внешняя нагрузка, как известно, приводит к его деформированию и последующему появлению внутренних напряжений (глава 2.1 ). Величины перемещений точек тела, вызванных действием внешних сил, определяют деформированное состояние механической системы, которое в свою очередь может существенно влиять на ее работоспособность.

Кроме перемещений, в практике проектирования используют понятие жесткости. Жесткость как физическое понятие представляет собой способность тела сопротивляться внешнему деформированию и численно равна нагрузке, которая вызывает единичное перемещение. Величина, обратная жесткости называется податливостью. Податливость характеризует способность тела перемещаться (деформироваться) под действием внешнего силового воздействия. Единицей измерения податливости служит перемещение точки тела под действием единичной силы.

Очевидно, что расчет жесткости напрямую связан с определением перемещений рассматриваемых точек детали. При этом следует различать природу возникновения деформаций. Если при нагружении детали деформация распределена по всему объему, то ее можно считать объемной. Имеют место также деформации контактные, которые в отличие от объемных локализованы внутри малых по сравнению с размерами тела объемах и быстро затухают. Необходимо однако отметить, что такое деление деформаций на объемные и контактные является условным.

Внемногочисленных частных случаях объемные и контактные деформации можно рассчитать аналитическими методами. Но для решения задачи расчета полей перемещений в деталях произвольной геометрической формы используются исключительно численные методы. Для реализации численных методов разработаны компьютерные программы, которые позволяют получить полную картину деформированного состояния детали.

Вэтой главе рассмотрены некоторые из аналитических приемов расчета перемещений, каждый из которых можно эффективно применять при решении ряда конкретных задач. Численные методы будут изложены ниже в главе 3.3 .

Определение перемещений методом интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Это условие положено в основу дальнейших расчетов.

Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной l с односторонней внешней заделкой (рис. 2.6.1). К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F , которая и вызывает деформации ее

точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим как δ . Выделим элемент объема балки длиной dz , находящийся на расстоянии z от закрепленного конца. Деформированное состояние в текущем сечении балки

Рис. 2.6.1

Подставляя (2.6.1) и (2.6.2) в уравнение изогнутой оси балки (2.5.22), получаем

Перемещение закрепленного конца балки соответствует z = l , следовательно, для этого конца из (2.6.6)

имеем

В качестве второго примера рассмотрим задачу расчета балки, установленной на двух опорах и нагруженной так, как это показано на рис. 2.5.4a и 2.6.2.

Для нахождения конечных зависимостей по расчету перемещений и углов поворота следует определить значения произвольных постоянных, используя очевидные условия на границах.

•Условие 1: δ1 = 0 при z = 0 , тогда из (2.6.9) следует C2 = 0 ;

•Условие 4: δ2 = 0 при z = l , следовательно, используя (2.6.11), получаем

Практический интерес представляет случай, когда внешняя нагрузка приложена симметрично относительно

опор. Тогда справедливо равенство z = a = b = l / 2 . При этом, например, средняя точка между опорами перемещается на расстояние

а угол поворота сечения, как и следовало ожидать, в рассматриваемой точке равен

Описанный выше метод расчета перемещений можно применять только для ограниченного круга достаточно простых задач, тогда как подобный подход для более сложных случаев приводит к большим техническим трудностям. Более универсальными являются энергетические методы.

Расчет перемещений энергетическими методами. Рассмотрим равновесие тела, нагруженного системой внешних силовых факторов Fi (рис. 2.1.1). При приложении внешней нагрузки каждая точка тела перемещается в новое положение (рис. 2.1.3). Обозначим перемещения в точках приложения сил черезδi . Если принадлежащая телу точка приложения силы Fi перемещается на расстояние dδi в направлении действия Fi

Из (2.6.21) следует, что величина внешней нагрузки, вызвавшей перемещение i - ой точки тела, равна частной производной потенциальной энергии по данному перемещению. Это утверждение (т. н. первая теорема

Кастилиано) может быть положено в основу расчета перемещений твердых деформируемых тел. Решение (2.6.21), полученное на основе анализа внутренней энергии деформированного тела, представимо и в иной форме:

если на тело действует система внешних сил F1 , F2 ,..., Fi , то, вычисляя частные производные от потенциальной энергии по силам, имеем

Выражение (2.6.22) представляет собой аналитическую запись второй теоремы Кастилиано.

Применим описанный выше метод к расчету перемещений свободного конца консольной балки, жестко закрепленной другим концом (рис. 2.6.1). Перемещение свободного конца (без учета поперечных сил), как следует из (2.6.22) и (2.5.33), равно

что совпадает с (2.6.7).

Необходимо однако отметить, что в произвольном случае операция вычисления перемещений, основанная на непосредственном применении второй теоремы Кастилиано, может быть достаточно сложной технически. Более часто используется другой энергетический подход, являющийся модификацией вышеописанного - метод единичной нагрузки, или метод Мора. Рассмотрим его применительно к плоскому случаю чистого изгиба.

Дифференцирование выражения (2.5.33) в общем виде дает

единичной силой и полной внешней нагрузкой соответственно. Отметим, что единичную нагрузку нужно приложить так, чтобы ее направление совпадало с направлением искомого перемещения. Тогда (2.6.24) переписывается в виде

Из (2.6.25) видно, что расчет перемещений сводится в конечном итоге к вычислению интегралов. А поскольку вычисление интегралов представляет собой простейшую численную процедуру, которая может быть легко реализована на компьютере, то этот метод и получил широкое распространение. Проиллюстрируем применение метода Мора на нескольких примерах.

1) Определим перемещение конца консольно закрепленной балки (рис. 2.6.1), пользуясь формулой (2.6.25). Для этого запишем выражения для двух изгибающих моментов: от рабочей нагрузки, который равен

M nx = F(l − z), и от единичной нагрузки, M1x = (l − z). Отсюда, как и следовало ожидать, получаем

Полная потенциальная энергия. Полная потенциальная энергия П любой механической системы, как известно, численно равна работе, совершенной всеми действующими на систему силами, если система

перейдет из деформированного состояния в исходное недеформированное. При этом действующими на систему силами являются как внешние нагрузки с потенциальной энергией W , так и внутренние реактивные силы,

потенциальной энергией которых является энергия деформации U .

Рассматривая переход системы от деформированного состояния к исходному недеформированному, будем считать, что точка приложения нагрузки Fi перемещается на величину δi , причем сама внешняя сила Fi

остается в процессе перехода постоянной. Работа всех k внешних сил в этом случае равна