Основы проектирования машин / ГЛАВА 2.7. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

ГЛАВА 2.7. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

Напряженное состояние в точке. Внешние силы , приложенные к телу, вызывают появление в нем напряжений и деформаций. Для того чтобы можно было судить о статической прочности тела,

нагруженного произвольной системой силовых факторов, необходимо описать напряженное состояние в каждой его точке, т. е. определить совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через исследуемые точки.

В общем случае напряженное состояние каждой точки деформированного тела можно описать, используя метод сечений (см. главу 2.2 ).

Рис. 2.7.1

Для анализа напряженного состояния тела в произвольной точке A выделим шестью сечениями в ее

окрестности элементарный параллелепипед с гранями (рис. 2.7.1). Полное напряжение, возникающее в каждой секущей площадке, произвольно направлено в пространстве, но в любом случае его можно представить в

виде проекций на три взаимно перпендикулярных оси, одна из которых совпадает с направлением нормали к поверхности грани, а две другие лежат в ее плоскости. Напряжение, нормальное к поверхности, называется нормальным, в то время как два других - касательными. Вращением элемента объема его грани можно разместить так, что к ним будут приложены только нормальные напряжения, а их касательные составляющие станут равными нулю. Таким образом, грани элемента будут совпадать с главными площадками, а действующие на них напряжения

–с главными напряжениями. Эти три главных напряжения полностью характеризуют напряженное состояние точки,

аего расчет в общем виде сводится к определению этой тройки напряжений.

Определение местоположения главных площадок при произвольном характере нагружения - процесс непростой, требующий дополнительных вычислений. Однако на практике почти всегда положение одной из главных площадок в заданной точке можно указать заранее. Тогда две другие главные площадки, разумеется, выбираются из множества перпендикулярных к первой. Этот прием существенно облегчает решение задачи определения главных напряжений.

Рис. 2.7.2

Если в окрестности какой-либо точки тела действуют все три главных напряжения, то имеет место трехосное нагружение, а соответствующее напряженное состояние в этой точке называется объемным (рис. 2.7.2

для семейства площадок, параллельных главной площадке наибольшего напряженияσ2 , представлен на рис. 2.7.4.

Использование кругов Мора позволяет легко определить величины нормальных и касательных напряжений, приложенных к наклонным площадкам. При такой геометрической интерпретации ясно, что каждой секущей площадке, наклоненной под определенным углом, соответствует точка на круге Мора. Текущие напряжения на

площадке, наклоненной под углом α , равны координатам точки, которая лежит на пересечении этого круга с

прямой, проведенной под углом 2α (рис. 2.7.4).

Рассмотренный выше подход к описанию плоского напряженного состояния наклонной площадки,

находящейся в плоскости оси z , можно распространить и на площадки, лежащие в других плоскостях. Очевидно, что каждая из этих площадок характеризуется парой главных напряжений, а напряженное состояние на любой

наклонной площадке в случае трехосного нагружения определяется совокупностью трех кругов напряжений (рис. 2.7.6). Можно доказать, что координаты точек заштрихованной области равны нормальным и касательным напряжениям на произвольно ориентированных площадках.

Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации. Рассматривая нормальные нагружения и нагружения сдвига, можно выявить зависимость между компонентами напряженного (напряжениями

σ и τ ) и деформированного (линейными ε и угловыми γ деформациями) состояний и тем самым записать выражение для обобщенного закона Гука (см. 2.2.6 - 2.4.12). Применительно к случаю плоского напряженного

состояния закон Гука записывается в виде

Здесь σab и σar - допускаемые напряжения по пределам прочности и текучести соответственно, nb и nr

- коэффициенты запаса прочности и текучести, σb и σr - пределы прочности и текучести.

Однозначно сформулировать критерии равнопрочности не удается, поэтому существует несколько теорий, которые взаимно дополняют друг друга и могут быть применены для различных материалов и условий их нагружения. Например, для хрупких материалов рекомендуется использовать теорию наибольших нормальных напряжений (наибольших растягивающих деформаций). Эти рекомендации сформулированы на основе многочисленных лабораторных испытаний образцов, изготовленных из разных материалов.

Рассмотрим последовательно каждую из существующих теорий, определяющих предельное состояние, и укажем границы их рационального применения. Читателя не должно удивлять то обстоятельство, что различные теории при описании предельного состояния приводят к разным результатам - это еще раз говорит о приближенности гипотез прочности.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Согласно первой теории прочности, два напряженных состояния считается равнопрочными, если равны их наибольшие напряжения растяжения,

Эта гипотеза основывается на том очевидном факте, что наибольшее влияние на процесс разрушения оказывают максимальные главные напряжения, которые вызывают разрыв межмолекулярных связей. Два других главных напряжения при этом в расчет не принимаются. Как показали лабораторные испытания, наличие других главных напряжений может существенно повлиять на прочность. Однако в том случае, если другие главные напряжения много меньше максимальных, эта гипотеза может быть с успехом использована, но только при расчетах деталей из хрупких материалов. Для остальных же случаев ее применение необоснованно.

Гипотеза наибольших нормальных деформаций (вторая теория прочности). Если предположить,

что разрушение происходит в результате отрыва, вызванного чрезмерным уровнем относительного удлинения, то можно сформулировать вторую теорию прочности, согласно которой условие равнопрочности выполняется в том случае, когда равны относительные линейные деформации

Как видно из (2.7.22), при определении эквивалентных напряжений учитываются все напряжения, а не только главные. Второй теорией можно описывать прочность некоторых неметаллических материалов. Однако эта теория, как и первая, не имеет достаточного экспериментального подтверждения. Ее применение дает лучшие результаты для хрупких материалов.

Гипотеза наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Теория наибольших касательных напряжений используется для описания прочности пластических материалов, к каковым, как уже говорилось выше, относится большинство металлов. Для хрупких материалов эта гипотеза не применима.

Основанием для формулировки гипотезы наибольших касательных напряжений является предположение,

что при растяжении цилиндрические образцы разрушаются по площадкам, наклоненным под углом в π / 4 . Как было показано в главе 2.2 , на этих же площадках действуют наибольшие касательные напряжения. Согласно

теории наибольших касательных напряжений два напряженных состояния являются равнопрочными, если равны их наибольшие касательные напряжения, т. е.

Здесь под τ понимается максимальное значение касательного напряжения (2.7.5).

Главный недостаток гипотезы наибольших касательных напряжений заключается в том, что при ее использовании не учитывается влияние средних главных напряжений, которые так или иначе участвуют в процессе

разрушения. Например, пренебрежение напряжениямиσ2 , как показали испытания, в отдельных случаях может

привести к ошибке порядка (10 ÷15)% , что необходимо помнить при выборе значений коэффициентов запаса прочности.

Энергетическая гипотеза (четвертая теория прочности). Очевидно, что при нагружении тела внешней нагрузкой увеличивается его потенциальная энергия. Казалось бы, при определенном уровне потенциальной энергии должно произойти разрушение. Однако, как следует из результатов экспериментов, при нагружении образца одинаковой сжимающей силой в трех взаимно перпендикулярных плоскостях даже при неограниченном возрастании внутренней потенциальной энергии разрушения материала все же не происходит. Можно сказать, что в этом случае изменение объема не приводит к изменению формы. Следовательно, опасное состояние связано не с энергией изменения объема, а с энергией формоизменения. В соответствии с энергетической теорией два напряженных состояния считаются равнопрочными, если они имеют одинаковые энергии формоизменения. Достоинством этой теории является то, что при расчетах учитываются все главные

напряжения. Погрешность вычислений по этой теории не превышает 15% .

Рассмотрим деформацию элементарного кубика (рис. 2.2.10). В общем случае нагружения полная потенциальная энергия деформации кубика dU складывается из энергия формоизменения dU f и энергии изменения объема dUV , так что

причем полная энергия деформации становится равной энергии изменения объема, dU = dUV . Выражение (2.7.25) с учетом (2.7.26) приводится к виду

Приравнивая правые части (2.7.28) и (2.7.29), находим

Поскольку первые признаки пластического деформирования появляются тогда, когда эквивалентные напряжения становятся равными пределу текучести, то значение предела текучести при сдвиге можно рассчитывать по формуле

что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Эксперименты показали, что первые пластические

деформации появляются в материале при напряжениях, равных (0,56 ÷0,6)σr , то есть теория энергии формоизменения наиболее близка к экспериментальным данным и может быть использована для описания

прочности упруго - пластических материалов. Отметим, что, согласно (2.7.23), теория наибольших касательных напряжений приводит к результату

близкому к (2.7.34), но менее точному.

В заключение следует заметить, что все вышеописанные теории прочности неприменимы к анизотропным материалам, прочность которых, помимо всего прочего, зависит от направления приложения внешней нагрузки.

Теория предельных состояний (теория Мора). Как уже говорилось, наиболее простым с точки зрения практической реализации является испытание материалов на растяжение (сжатие). В случае предельного

растяжения можно ограничиться напряжением, равным значению предела текучести при растяжении σrt , а в

случае предельного сжатия - пределом текучести при сжатииσrc . Круги Мора, соответствующие этому случаю, изображены на рис. 2.7.5. Все остальные напряженные состояния будут находиться внутри этих двух предельных.

Логично предположить, что граница предельного состояния совпадает с огибающей двух предельно допустимых, и она линейна. Случаи фактического нагружения будут считаться безопасными с точки зрения прочности, если их наибольшие напряжения не превосходят граничных значений.

Значение коэффициента запаса при этом, как следует из (2.7.36), определяется выражением

Теорию Мора рекомендуется использовать, если материалы по-разному работают на растяжение и сжатие. В том случае, когда механические характеристики при растяжении и сжатии совпадают, то результаты расчета по теориям Мора и наибольших касательных напряжений, как это следует из (2.7.42), приводят к одинаковым результатам. Недостатком обеих этих теорий является то, что эквивалентное напряжение рассчитывается без

учета главного напряжения σ2 .