Основы проектирования машин / ГЛАВА 3.1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ
.pdf
|
|
∂ 2τ |
|
|
|
|
1 |
|
∂ |
2σx |
|
|
∂ 2σ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
∂ x∂ |
y |
2 |
∂ |
|
x2 |
∂ y2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.1.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая (3.1.30) и (3.1.31), получаем уравнение неразрывности деформаций, выраженное в |
|
||||||||||||||||
напряжениях - уравнение Леви: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(σ |
|
+σ |
|
)= 0 |
|
|
|
||
|
∂ x2 |
|
∂ |
y2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(3.1.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
2 (σx +σ y )= 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3.1.33) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Здесь через |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначен гармонический оператор Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений: двух уравнений равновесия (3.1.25) и уравнения совместности деформаций (3.1.32) или (3.1.33). Однако эту систему также можно упростить, сведя ее к одному уравнению, если
ввести в рассмотрение так называемую функцию Эйриϕ(x, y). Величины напряжений связаны с функцией Эйри соотношениями
|
∂ 2ϕ |
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
σx = |
|
; |
σ y = |
|
; |
τ = − |
|
− yX − xY. |
|
∂ y2 |
∂ x2 |
∂ x∂ y |
|||||||
|
|
|
|
|
(3.1.34) |
Для проверки корректности введения функции напряженийϕ и ее зависимости от напряжений подставим
(3.1.34) в уравнения равновесия (3.1.25). Нетрудно убедиться, что такая подстановка при условии постоянства |
|||||||||||||||||
объемных сил X и Y дает тождество при любой функции |
ϕ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂ |
|
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
∂ |
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− X + X = 0; |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
∂ |
|
|
|
∂ y |
|
|
∂ |
|
|
∂ x∂ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
y |
|
|
|||||||||
|
∂ |
|
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
∂ |
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
−Y +Y |
= 0. |
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
∂ x∂ |
|
||||||||
|
y |
∂ x2 |
|
x |
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Таким образом можно получить множество решений уравнений равновесия (3.1.25). Действительным решением задачи будет то из них, которое одновременно удовлетворяет условию совместности деформаций
(3.1.32). Подставляя (3.1.34) в (3.1.32), получаем
|
∂ 4ϕ |
+ 2 |
|
∂ 4ϕ |
|
+ |
∂ 4ϕ |
= 0 |
|
||
|
∂ |
x4 |
∂ |
x2∂ |
y2 |
∂ |
y4 |
|
|||
|
|
|
. |
(3.1.35) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2ϕ = 0 |
. |
(3.1.36) |
|
Выражение (3.1.36), или, в развернутом виде, (3.1.36), называемое бигармоническим уравнением, широко используется в теории упругости для описания напряженного состояния и в этой связи является исключительно
важным, ведь в результате плоская задача теории упругости свелась к решению единственного уравнения (3.1.35), |
|
дополненного в каждом конкретном случае соответствующими статическими граничными условиями на |
|
поверхности тела типа (3.1.27). После определения функции ϕ |
переход к самим напряжениям выполняется по |
формулам (3.1.34) с помощью дифференцирования.
Заметим, что если объемные нагрузки отсутствуют, то выражения (3.1.34) упрощаются:
σx = |
∂ 2ϕ |
|
σ y = |
∂ 2ϕ |
|
τ = − |
∂ 2ϕ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
. |
|
|||
∂ y2 |
∂ |
x2 |
∂ x∂ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
(3.1.37) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статические граничные условия (3.1.27) выражаются через функцию напряжения
(3.1.27) соотношения (3.1.37):
|
∂2ϕ |
∂2ϕ |
|
|
||||
|
|
2 l − |
|
|
m = px ; |
|||
|
∂y |
∂x∂y |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
∂2ϕ |
|
∂2ϕ m = p |
|
||||
− |
l + |
. |
||||||
|
||||||||
|
∂x∂y |
∂y |
2 |
|
y |
|||
|
|
|
|
|||||
ϕ , если подставить в
(3.1.38)