3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

(Доказательство)

   Средним квадратическим отклонением   случайной величины   называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

   Среднее квадратическое отклонение   имеет ту же размерность, что и случайная величина  .     Пример 1. Cлучайная величина   - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение (Решение)     Пример 2. Cлучайная величина   - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию. (Решение)     Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и  (Решение)     Пример 4. Пусть   - случайная величина распределенная по закону Пуассона

[См. формулу (17)]. Найти:   (Решение)     Пример 5. Пусть   - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины. (Решение)

   Пусть   - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и   (см. § 3, п.5). Найдем   и      Так как

   ,то по формуле (40) находим

   Проведем в интеграле замену переменной, полагая

   тогда

   Следовательно,

   Но

   [См. формулу (29)]. Далее, так как функция   нечетная, то по свойству нечетных функций

   Следовательно,       Дисперсию находим по формуле (45)

   (вычисление интеграла не приводим).     Итак,

   Таким образом, параметры a и   для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание,   - среднее квадратическое отклонение. 

Дальше...

   * Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение   случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как

Здесь мы воспользовались тем, что   постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания:  . Однако, как правило, действия связанные

15. Мат ожидание – это среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное числозначений x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn, мат ожиданием величины Х называется выражение: ЕХ = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.

Математическое ожиданием – это средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:

 

Математическое ожиданием – это средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Мат. ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле

16. Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и  (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение  или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть Х — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие (но не совпадающие) термины:станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.