Перемножение матриц.

 

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

 

Определение 3.6. Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности   называется матрица С  размерности  , каждый элемент которой   определяется формулой:   Таким образом, элемент   представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

49. Обратная матрица.

Обратная матрица.

 

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если  , и невырожденной, если  .

 

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается  .

     Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

 

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы  исходная матрица была невырожденной.

 

Доказательство.

1)       Необходимость: так как   то   (теорема 3.1), поэтому 

2)       Достаточность: зададим матрицу   в следующем виде:

                  .

Тогда любой элемент произведения    (или  ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны   Таким образом,

                = . Теорема доказана.

 

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример.

Найдем матрицу, обратную к  

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

 Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак,   Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению   Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

50. Ранг матрицы.

Для того что бы найти ранг матрицы можно использовать метод окаймления миноров. Суть его заключается в нахождении миноров, начиная с низших и двигаясь к более высоким порядкам. Если миноры более высоких порядков, например n+1 равны 0, при условии, что минор n-го порядка не равен 0, то ранг будет равен n.

На наш взгляд более простым является метод приведения матрицы к треугольному виду. И если в задании не указано, каким именно методом нужно искать, то предпочтительнее использовать именно данный способ. Наш онлайн калькулятор путем элементарных преобразований делает все элементы, стоящие ниже главной диагонали равными нулю. К элементарным преобразованиям относятся:

- перестановка двух параллельных рядов матрицы;

- умножение всех элементов какого-либо ряда на число отличное от нуля;

- прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов параллельного ряда умноженных на одно и то же число.

Далее подсчитываем количество нулевых строк в матрице и отнимаем от общего числа строк. Полученное значение и будет рангом матрицы.

Для примера произведем расчет для матрицы 3×3

 

67	32	-2
-1.5	-1.4	10
14	12	5

 

На первом этапе отнимем первую строку от нижних, при этом добъемся что бы в первом столбце элементы начиная со второго стали равными нулю. Для этого умножим на -0.022 и 0.209. В итоге получим ниже приведенную матрицу.

 

67	32	-2
0	-0.684	9.955
0	5.313	5.418

 

Аналогичные действия проделаем со второй строкой. Умножим на -7.773

 

67	32	-2
0	-0.684	9.955
0	0	82.799

 

Так как количество нулевых строк равно нулю, а общее количество строк равно трем, то ранг матрицы равен: rang|A|=3-0=3

51. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:

1. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля

2. прибавление к одной строке матрицы другой строки

3. перестановка строк между собой

4. вычеркивание (обнуление) одной из двух одинаковых строк

5. транспонирование матрицы.

Эти же операции, применяемые для столбцов матрицы, также являются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно любой строке (или столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (или столбцов).

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Элементарные преобразования обратимы. Обозначение A ~ Bуказывает на то, что матрица A может быть получена из B путём элементарных преобразований (или наоборот).

52. Система линейных неоднородных уравнений (общий случай: m=n). Терема Кронекера-Капелли.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называетсянеопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Теорема Кронекера-Капелли

Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы  Доказательство необходимости. Пусть система (1.13) совместна, то есть существуют такие числа х1=α1, х2=α2, …, хn=αn, что                                (1.15) Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы  ее первый столбец, умноженный на α1, второй – на α2, …, n-ый – умноженный на αn, то есть из последнего столбца матрицы (1.14) следует вычесть левые части равенств (1.15). Тогда получим матрицу ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и  . Но очевидно,   и, значит,  Доказательство достаточности. Пусть   и пусть для определенности не равный нулю минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы: Это означает, что остальные строки матрицы   могут быть получены как линейные комбинации первых r строк, то есть m-r строк матрицы можно представить в виде сумм первых r строк, умноженных на некоторые числа. Но тогда первые r уравнений системы (1.13) самостоятельны, а остальные являются их следствиями, то есть решение системы первых r уравнений автоматически является решением остальных уравнений. Возможны два случая. 1.      r=n. Тогда система, состоящая из первых r уравнений, имеет одинаковое число уравнений и неизвестных и совместна, причем решение ее единственно. 2.      r<n. Возьмем первые r уравнений системы и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные – перенесем вправо:                (1.16) «Свободным» неизвестным xr+1, xr+2, …, xn можно придать какие угодно значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x1, x2, …, xr. Система (1.13) и в этом случае совместная, но неопределенная. Замечание. Отличный от нуля минор порядка r, где r<n, будем называть базисным минором. Неизвестные х1, х2, …, хr так же называют базисными, остальные – свободными. Систему (1.16) называют укороченной. Если свободные неизвестные обозначить хr+1=c1, хr+2=c2, …, хn=cn-r, то базисные неизвестные будут от них зависеть, то есть решение системы m уравнений с n неизвестными будет иметь вид X = (x1(c1, …, cn-r), x2(c1, …, cn-r), …, xr(c1, …, cn-r), c1, c2, …, cn-r)T, где значок Т означает транспонирование. Такое решение системы называется общим.

53. Система линейных неоднородных уравнений (общий случай: m=n). Правило Крамера. Метод обратной матрицы.

пРешим систему уравнений 3 x1 - x2   = 5 -2 x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 - x2 + 4 x3 = 15 Запишем систему уравнений в матричной форме A * X = B 3 - 1 0      * - 2 1 1 2 - 1 4 x1      = x2 x3 5 0 15 Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij. A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде: A -1 = 1 / det A * A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 где Aij = ( -1 ) i+j * M ij Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю , то обратной матрицы не существует. М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.  Найдем определитель матрицы А. det A =   3 -1 0   = -2 1 1 2 -1 4 К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 2.        =   1 -1 0   = 0 1 1 0 -1 4 Разлагаем определитель по элементам первого столбца. = ( - 1 )1+1 * 1*   1 1   + -1 4 ( - 1 )2+1 * 0*   -1 0   + -1 4 ( - 1 )3+1 * 0*   -1 0   = 1 1 = 1*   1 1   = -1 4 = 1* ( 1 * 4 - 1 * ( -1) ) = = 1 * 5 = 5 более подробное вычисление det А Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует.  Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1. A = 3 - 1 0 - 2 1 1 2 - 1 4 Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M11 ) элемента a11. M11 =   1 1   = 1 * 4 - 1 * ( -1) = 4 - ( -1) = 5 -1 4 Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента. A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 1+1 * 5 = 5  Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2. A = 3 - 1 0 - 2 1 1 2 - 1 4 Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M12 ) элемента a12. M12 =   -2 1   = ( -2) * 4 - 1 * 2 = ( -8) - 2 = -10 2 4 Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. … Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a32, есть число нечетное ( 3 + 2 = 5 ) и выражение ( -1 )3+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a32 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 3+2 * 3 = -3  Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. A = 3 - 1 0 - 2 1 1 2 - 1 4 Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M33 ) элемента a33. M33 =   3 -1   = 3 * 1 - ( -1) * ( -2) = 3 - 2 = 1 -2 1 Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a33, есть число четное ( 3 + 3 = 6 ) и выражение ( -1 )3+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a33 равно минору данного элемента. A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 3+3 * 1 = 1 Осталось, только записать обратную матрицу. A -1 = 1 / 5 * 5 4 - 1 10 12 - 3 0 1 1 A -1 = 1 4 5 - 1 5 2 12 5 - 3 5 0 1 5 1 5 Вернемся к нашему уравнению, которое мы записали в матричной форме. A * X = B Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1 A-1 * A * X = A-1 * B 1 4 5 - 1 5      * 2 12 5 - 3 5 0 1 5 1 5 3 - 1 0      * - 2 1 1 2 - 1 4 x1      = x2 x3 1 4 5 - 1 5      * 2 12 5 - 3 5 0 1 5 1 5 5 0 15 Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т.е. A-1 * A = Е, следовательно X = A-1 * B x1      = x2 x3 1 4 5 - 1 5      * 2 12 5 - 3 5 0 1 5 1 5 5 0 15 x1 = 1 * 5 + 4 5 * 0 + ( - 1 ) 5 * 15 = 5 + 0 + ( - 3 ) = 2 x2 = 2 * 5 + 12 5 * 0 + ( - 3 ) 5 * 15 = 10 + 0 + ( - 9 ) = 1 x3 = 0 * 5 + 1 5 * 0 + 1 5 * 15 = 0 + 0 + 3 = 3 Ответ : x1 = 2 x2 = 1 x3 = 3