7. Сферическая система координат.
Для
введения сферических координат в
пространстве рассмотрим три взаимно
перпендикулярные оси Ох, Оу и Oz
с общим началом О. Пусть М — любая,
отличная от О точка пространства, N
— ее проекция на плоскость Оху,
— расстояние М от О. Пусть, далее,
— угол, который образует направленный
отрезок ОМ с осью z,
а ф — угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки ось Ох до
совмещения с лучом ON.
Углы
и ф называют широтой и долготой
соответственно.
Сферическими координатами точки М называютсятри числа: р, ф и
Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = const (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является сферой такая сфера изображена штриховой линией). Для того чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат (р, ф, 9) было взаимно однозначным, обычно считают, что риф изменяются в следующих пределах: 0<р< + , 0<ф<2 .
Координата по самому определению заключена между 0 и . Отметим,
что в задачах, связанных с непрерывным перемещением точки в пространстве, часто отказываются от указанных ограничений на изменение сферических.
Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат, то декартовы координаты х, у, z точки М связаны с ее сферическими координатами р, ф, соотношениями
x
=
sin
cos
,
у =
sin
sin
,
z =
cos
8. Простейшие задачи аналитической геометрии: направленный отрезок, проекция направленного отрезка на ось, расстояние между двумя точками.
Отрезок в пространстве называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом и какая — концом. Cимволом АВ будем обозначать направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В.
Рассмотрим в пространстве направленный отрезок М1М2 и ось Ох. При этом будем считать, что на оси Ох введены декартовы координаты точек.
Проекцией направленного отрезка М1М2 на ось Ох называется величина направленного отрезка М1хМ2х , началом М1х которого служит проекция начала отрезка М1М2 , а концом М2х — проек-
ция конца отрезка М1М2 .
Пусть точки М1х и М2х имеют на оси Ох координаты х1 и х2 соответственно. Мы знаем
прОх М1М2 =х2-х1
Установим еще одну формулу для вычисления прОх МХМ2 . Для этого перенесем направленный отрезок М1М2 параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой оси. Обозначим через ф наименьший угол между направлением оси Ох и направлением отрезка МХхМ2х , полученного указанным выше параллельным переносом отрезка М1М2 . Отметим, что
угол ф заключен между 0 и тт. При этом очевидно, что угол ф острый, если направление отрезка М1хМ2х совпадает с направлением Ох, и тупой, если направление М1хМ2х противоположно направлению Ох. Используя это, легко убедиться в справедливости следующей нужной нам формулы: прОх М1М2 = | М1М2 | cos ф, в которой | МХМ2 | обозначает длину отрезка М1М2 .
Расстояние между двумя точками Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Oxyz и точки М1{х1, у1, z1) и М2{х2, У2 Z2). Очевидно, расстояние (М1, M2) между точками М1 и М2, равное длине направленного отрезка М1М2 , равно также длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки М1 и М2
. Длина параллельного оси Ох ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине проекции отрезка МХМ2 на ось Ох, т.е., согласно формуле равна | х2 – х1 |. По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям Оу и Оz, равны соответственно
| у2 — у1 | и | z2 — z1 |.
Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для
(м1,м2).
(м1,м2)
=
