Примеры.

1. 

, а значит x=y=z=0.

2. 

37. Плоскость в пространстве: общее уравнение плоскости, уравнение плоскости ‘’в отрезках’’.

38. Плоскость в пространстве: виды неполных уравнений плоскости.

39. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

40. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащих на одной прямой.

41. Нормированное уравнение плоскости, отклонение точки от плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормированному виду, нормирующий множитель.

42. Пучок и связка плоскостей в пространстве. Теорема о пучке плоскостей.

43. Прямая линия в пространстве: канонические уравнения прямой.

44. Прямая линия в пространстве: уравнения прямой, проходящей через две различные точки.

45. Прямая линия в пространстве: параметрические уравнения прямой.

46. Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

47. Матрицы и операции над ними.

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример: - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Операции над матрицами: транспонирование, умножение на число, умножение матриц

48. Свойства операций над матрицами.

Линейные операции над матрицами.

 

1.        Сложение матриц.

 

Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 

                       Свойства сложения:

1.        А + В = В + А.

2.        (А + В) + С = А + (В + С) .

3.        Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

2.        Умножение матрицы на число.

 

Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

                          Свойства умножения матрицы на число:

1.        (km)A=k(mA).

2.        k(A + B) = kA + kB.

3.        (k + m)A = kA + mA.

 

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

 

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу