9. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим в пространстве две различные точки М1 и М2 и прямую, определяемую этими точ-

ками. Выберем на этой прямой некоторое направление. На полученной оси точки М1 и М2 определяют направленный отрезок М1М2 .

Пусть М — любая отличная от М2 точка указанной выше оси. Число

называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М1М2 . Таким образом, любая, отличная от М2 точка М делит отрезок М1М2 в некотором отношении , где определяется равенством.

Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении , считая известными координаты точек М1 и М2 и число , где не равно -1.

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz, и пусть в этой системе координат точки М1 М2 и М имеют соответственно координаты (х1 у1 z1), (х2, у2, z2) и (х, у, z). Спроецируем точки М1 М2 и М на координатные оси/ Очевидно, точка Мх делит направленный отрезок М1хМ2х в отношении . Поэтому

Мы знаем M1xMx = x-x1, a MxM2x = х2-х. Отсюда найдем, что х равняется

Совершенно аналогично вычисляются координаты у и z точки М. Таким образом,

X= y= z=

Эти Формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении X.

10. Вектор и линейные операции над векторами. Основные свойства линейных операций над векторами.

Вектор это направленный отрезок. Обозначаеться где A и B начало и конец

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или _абсолютной величины). Так, | АВ | и |а| обозначают длины векторов АВ и а соответственно. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпа- дают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль. Введем важное понятие коллинеарности векторов. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Теперь можно сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, т. е. имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы счита-ются равными.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

1° а + b = b + а (первместительное свойство)',

2° (а + Ь) + с = а + (Ь + с) {сочетательное свойство);

3° существует нулевой вектор О такой, что а + 0 = а для любого

вектора а (особая роль нулевого вектора);

4° для каждого вектора а существует противоположный ему век-

тор а' такой, что а + а' = 0.

То же и для «-»

Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя

свойствами:

5° а(а + Ь) = аа + ab (распределительное свойство числового сомно-

жителя относительно суммы векторов);

6° (а + b)а = аа + bа (распределительное свойство векторного со-

множителя относительно суммы чисел);

7° а(bа) = (аb)а {сочетательное свойство числовых сомножителей).

11. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах:

Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число такое, что b = .

Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу О. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный отрезок и положительное направление. Возможны два случая: 1) векторы а и b направлены в одну сторону; 2) указанные векторы направлены в противоположные стороны2). Обозначим буквами А и В концы векторов а и b соответственно и заметим, что, поскольку вектор а ненулевой, точка А отлична от О.

Но тогда, исключив тривиальный случай совпадения точек A и В , мы

можем утверждать, что точка О делит направленный отрезок ВА в некотором отношении, которое мы обозначим через - , т.е. = ОВ = ОВ = – OA

В случае, когда векторы а и b направлены в одну сторону, точка О лежит вне отрезка ВА, и потому отношение отрицательно, а > 0. Если же векторы а и b направлены в противоположные стороны, то точка О лежит внутри отрезка ВА, и потому отношение положительно, а <0. Докажем, что в обоих случаях b = . Достаточно доказать, что два вектора b и . 1) коллинеарны; 2) имеют одинаковую длину, 3) имеют одинаковое направление.

Коллинеарность векторов b и a вытекает из коллинеарности векторов а и b и определения произведения вектора на число. Равенство длин векторов b и непосредственно следует из определения произведения вектора на число и соотношения. Наконец, тот факт, что векторы b

и имеют одинаковое направление, следует из определения произведения вектора на число и из того, что > 0, когда а и b одинаково направлены, и , < 0, когда а и b противоположно направлены. Теорема доказана.