4. Декартовы координаты в пространстве.

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами

на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Одну из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу

или осью ординат, третью — осью Oz или осью аппликат. Пусть Мх, Му и Мг — проекции произвольной точки М пространства на оси Ох, Оу и Oz соответственно.

Декартовыми прямоугольными координатами х, у и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков ОМХ , ОМу и OMZ .

Декартовы координаты x,ynz точки М называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х, у и 2, символически обозначают так: М (х, у, z).Попарно взятые координатные оси располагаются в так называемых координатных плоскостях хОу, yOz и zOx. Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов. Читатель без труда выяснит расстановку знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином октанте.

5. Полярная система координат.

Полярные координаты. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох. Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки М называются два числа риф, первое из которых {полярный радиус р) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (поляр-ный угол ф) — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ох до совмещения с

лучом ОМ х). Точку М с полярными координатами риф обозначают символом М(р, ф).

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами по-

лярных координат (р, ф) было взаимно однозначным, обычно считают, что риф изменяются в следующих границах: 0<р< + , 0<ф<2 .

Пусть точка М имеет декартовы координаты хиуя полярные координаты риф. Очевидно,

х = , y = .

Полярные координаты риф точки М определяются по ее декартовым координатам хну, очевидно, следующим образом:

6. Цилиндрическая система координат.

Цилиндрические координаты в пространстве вводятся следующим образом. Выберем на фиксированной плоскости П некоторую точку О и выходящий из нее луч Ох.

Кроме того, рассмотрим ось Oz, проходящую через О перпендикулярно плоскости П. Пусть М — любая точка пространства, N — проекция этой точки на плоскость П, a Mz — проекция М на ось Oz.

Цилиндрическими координатами точки М называются три числа р, ф и z, первые два из которых (р и ф) являются полярными координатами точки N в плоскости П относительно полюса О и полярной оси Ох, а число z есть величина отрезка 0М2. Точку М с цилиндрическими координатами р, ф и z обозначают М (р, ф, z). Наименование «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = const (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz (на рис. 1.12 такой цилиндр изображен штриховыми линиями). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат Oxyz , то декартовы координаты х, у, z точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами р, ф, z соотношениями

х = , y = , z=z.