18. Аппроксимация и интерполяция данных, основные определения*

Простейшие способы интерполяции

Простейшим способом интерполяции функции f по таблице является интерполяция методом ближайшего соседа. Один из ее вариантов формулируется так:

То есть за значение функции берется значение функции f(x) в точке, ближайшей к рассматриваемой.

Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение f(x) интерполируется по двум соседним с точкой x точкам.

(здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности x_i)

Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию f.

Предположим, что производная функции f ограничена величиной g. Тогда на отрезке [x_i,x_{i + 1}] функция f не может отклониться от линейной интерполяции более, чем на . Если, кроме того, вторая производная функции f ограничена, можно построить более точную оценку

Аппроксимация ортогональными классическими полиномами.

Представленные ниже полиномы, относящиеся ко многочленам Якоби, обладают свойством ортогональности в изложенном выше смысле. То есть, для достижения высокой точности вычислений рекомендуется выбирать базисные функции для аппроксимации в виде этих полиномов.

1. Полиномы Чебышева.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом . В интервал ортогональности всегда можно вписать область определения исходной функции с помощью линейных преобразований.

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

T₀ = 1; T₁(x) = x; T_k+1(x) = 2xT_k(x) – T_k–1(x).

2) Полиномы Лежандра.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом .

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

L₀(x) = 1; L₁(x) = x; .

19. Метод наименьших квадратов*

Постановка задачи аппроксимации по МНК. Условия наилучшего приближения.

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то интерполяция не только не требуется, но и нежелательна! Здесь требуется построить кривую, которая воспроизводила бы график исходной экспериментальной закономерности, т.е. была бы максимально близка к экспериментальным точкам, но в то же время была бы нечувствительна к случайным отклонениям измеряемой величины.

Введем непрерывную функцию φ(x) для аппроксимации дискретной зависимости f(xi), i = 0…n. Будем считать, что φ(x) построена по условию наилучшего квадратичного приближения, если

. (1)

20. Постановка задачи и обзор численных методов решения ОДУ и систем ОДУ*

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x₀,y₀) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x₀,y₀) задаёт начальные условия.

 Явные Методы :

 Рунге-Кутта

 Конечно-Разностные:

       Метод Адамса

       Метод Нистрема

 Метод Эйлера

21. Метод Рунге-Кутта для решения ОДУ и систем ОДУ*

Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где h — величина шага сетки по x