10. Создание двумерных графиков в MathCad, графики кусочно-непрерывных функций

11. Редактирование и форматирование графиков в MathCad

Log Scale (Лог. масштаб) — установка логарифмического масштаба; Crid Lines (Линии сетки) — установка линий масштабной сетки; Numbered (Пронумеровать) — установка цифровых данных по осям; Autoscale (Автомасштаб) — автоматическое масштабирование графика; Show Markers (Нанести риски) — установка фоновых линий по осям; Auto Grid (Автосетка) — автоматическая установка масштабных линий; Nunber of Grids (Число интервалов) — установка заданного числа масштабных линий. Boxed (Рамка) — оси в виде прямоугольника; Crossed (Репер) — оси в виде креста; None (Ничего) — отсутствие осей;

При форматировании линий графика выбирается закладка Traces в окне форматирования, вид окна форматирования линий приведен ниже.

Legend Label (Имя кривой) — указание названий линий в легенде графика; Symbol (Маркер) — установка символа отметки базовых точек графика; Line (Линия) — установка типа линий; Color (Цвет) — установка цвета линии и базовых точек; Type (Тип) — тип графиков; Weight (Толщина) — толщина линий. Hide Argument — скрываются обозначения математических выражений по осям графика; Hide Legend — скрываются обозначения имен кривых графика.

12. Обработка внешних файлов в Mathcad

13. Символьные вычисления в MathCad

Модуль 2. Численные методы

14. Определение численных методов. Классификация численных методов*

15. Численные методы решения уравнений*

Метод простой итерации

В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Определим терминологию:

Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если

1. 

2. 

Тогда основная теорема будет выглядеть так:

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Если — сжимающее отображение на , то: — корень; итерационная последовательность сходится к этому корню; для очередного члена справедливо .

Поясним смысл параметра . Согласно теореме Лагранжа имеем:

Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы

1. 

.........

и так далее, пока

[править] Применительно к СЛАУ

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

Сходимость метода будет осуществлять

Следует отметить, что для оценки сходимости вычисляется не определитель матрицы, а норма матрицы. Поэтому в данном случае поставлены двойные вертикальные черты, а не одинарные.

[править] Алгоритм

1. Условие преобразуется к виду , где — сжимающая

2. Задаётся начальное приближение и точность

3. Вычисляется очередная итерация

   • Если , то и возврат к шагу 3.

   • Иначе и остановка.

16. Численные методы решения систем уравнений*

Решения матричных уравнений.

Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А - невырожденная (D ? 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

(А-1А) Х = А-1В.

Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:

Х = А-1В.

Такимобразом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу А-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

При этом собственно нахождение обратной матрицы - процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому напрактике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как:метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера - с определителями системы, образованными по специальному правилу.

Метод Крамера.

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера последовательно выполняется следующий алгоритм:

1. Записывают систему в матричном виде (если это еще не сделано).

2. Вычисляют главный определитель системы:

3. Вычисляют все дополнительные определители системы:

4. Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5. Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид:

17. Методы численного интегрирования*

Метод прямоугольников.

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.

Метод трапеций.

Аппроксимация в этом методе осуществляется полиномом первой степени. Суть метода ясна из рисунка.

Метод Симпсона.

П одынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).