- •Дифференциальные и интегральные уравнения
- •§ 1 Общие понятия
- •§ 2 Дифференциальное уравнение 1-го порядка
- •2.5 Уравнение в полных дифференциалах
- •§ 3 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Лоду 2-го порядка
- •Теорема существования и единства для ду n-го порядка и систематизации ду
- •§4 Интеграция ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1 Случай :
- •2 Случай :
- •§5 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (лнду) Структура общего решения лнду 2-го порядка :
- •Метод Лагранжа Вариации произвольных постоянных
- •Интегрирование лнду 2-го порядка и правой частью специального вида :
- •Интегрирование лнду п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида
- •§6 Системы дифференциального уравнения
- •Случай :
- •Случай :
- •§ 7 Понятие об устойчивости оду и систем оду Понятие о фразовом пространстве ду
- •Устойчивость по Ляпунову
- •Простейшие типы точек покоя
- •Случай :
- •Случай :
- •Случай :
- •§8 Уравнения в частных производных Основные понятия
- •Уравнение Лапласа
- •Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
- •§ 9 Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
- •§ 10 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных
Случай :
корни характеристического уравнения действительны и различны
, Є R
(i= )
Один из коэффициентов может считаться = 1
Для корня системы частное решение :
: = * =
=
: = * =
=
: = * =
=
Можно показать, что эти функции создают фундаментальную систему :
= + +
= + +
= + +
Случай :
Корни характеристического уравнения различные и среди них есть комплексные
= a+ ib
= a- ib
R
+ + x + =0
Вид частного решения в этой системе определяется также как и в случае 1
Замечание : вместо полученного частного решения можно взять их линейные комбинации
cos bx , sin bx
Корень a- i b не дает новых решений
Характеристическое уравнение имеет корень k ;
Кратность m (m =2,3)
а) m= 2 = (A + )
= (C + ) = (E + )
m=3 = (A + )
= (D + )
= (G + )
Это решение зависит от ’m’ производной постоянных A, B, C ,…, N определяемых методом неопределенного коэффициента
Выразить все коэффициенты через ’m’ полагается один из них равен 1, a остальные =0
Получится ’m’ линейно независимое частное решение системы (6.5)
§ 7 Понятие об устойчивости оду и систем оду Понятие о фразовом пространстве ду
В Евклидовом пространстве с прямоугольными координатами … решение системы :
= (t) = (t)
= (t, ,…, ) (i=1 , .., n) (7.1)
скорость точки
; …
При интегрировании (7.1)
= F (t, x) (7.1a)
Динамическая система (7.1) определенная в заданный момент времени t в пространстве ,…, поле скоростей
Если векторно – функциональная зависимость явно то t векторные траектории могут не пересекаться
Если f не зависит от t , то поле скоростей стационарно.
Рассмотрим t как параметр полученный на фазе имеющей семейство окружностей с центром в начале координат
= F(t, x) (7.1a)
Фиксируя получим определенную траекторию
Причем различные присущи различным движениям
Фаза траектории состоит из 1 точки О которая называется точкой покоя (7.2)
Устойчивость по Ляпунову
При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление , так как мы не учитываем факторы незначительно влияющие на процесс.
Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику
Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно
Пусть некоторое явления описываются системой ДУ :
= ( t, )
( ) = o (i= ) (7.3)
Если решение не только устойчивое но и удовлетворяет условию:
lim │ (t) - =0 (7.5)
t ∞
│ ( ) - │ < >0
- асимптатичная устойчивость
Заметим , что из условия (7.5) не следуете устойчивость решения = )
Из устойчивости решения не следует- его асимптатичности
Исследование на устойчивость решения системы (7.3) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения
Тогда система (7.3)
= (t) (i =
= (t) (i = (7.6)
= + (t, + (t), + ,…, + (t)) (7.7)
Решение = (t) уравнения (7.7), которое мы исследовали на устойчивости в силу замены = - I (t) соответствует тривиальному решению (7.7)
Поэтому мы будем исследовать на устойчивости точку покоя, расположенную в начале координат.
Условия устойчивости точки покоя : =0 (i= )
Устойчивость в смысле Ляпунова если для каждой ε 0 можно подобрать δ; (ε) такое, что
То есть траектория начальная точка которой находится в точке окрестности начальной координаты при t T не выходит за пределы ε – окрестности начальной координаты.