Глава 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

§1.Понятие функции нескольких переменных

Напомним, что Rⁿ – n – мерное евклидово пространство, элементами которого являются вектора х = (х₁,х₂,…, х_n), y =(y₁,y₂ ,…, y_n), с метрикой

 x,y Rⁿ.

Определение 1.1 Множество Е Rⁿ называется линейно связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, целиком содержащейся в Е.

Определение 1.2. Линейно связное открытое множество Е Rⁿ называется областью.

Объединение области и ее границы называют замкнутой областью.

Определение 1.3. Отображение f: из Rⁿ R¹ называется действительной функцией n– действительных переменных (для краткости n переменных)

Если число n не указано, то отображение называется функцией нескольких переменных.

Значение этой функции обозначается y = f(x), где xRⁿ, yR¹, или y = f(x), где х = (х₁,х₂,…, х_n), y=f (х₁,х₂,…, х_n), или y = f(M), где M(х₁,х₂,…, х_n)Rⁿ. Координаты х₁,х₂,…, х_n точки x или М называются аргументами функции.

Определение 1.4. Областью определения функции n – переменных называется совокупность значений xRⁿ ,при которой определена функция y = f(x). Если функция задана аналитически (т.е. имеется алгоритм для нахождения значений функции по значениям переменных) и ничего не оговорено об области определения, то под областью определения понимают то множество из Rⁿ , на котором аналитическое выражение имеет смысл.

Это множество обозначается D(f).

Определение 1.5. Областью значений функции n – переменных называется совокупность всех значений у для каждой точки х D(f) . Это множество обозначается Е(f).

Очевидно, что D(f) Rⁿ, Е(f) R.

Для функции 2-х переменных принято обозначение z = f(x,y), трех переменных – u = f(x, y, z).

Как и функция одной переменной, функция нескольких переменных может быть задана разными способами: аналитически, таблично, графически, словесно.

Пример 1.1.Найти область определения функции z = .

D(f) = {(x,y)16 – x² – y² 0} – замкнутый круг . Это связное множество и поэтому D(f)- замкнутая область.

Определение 1.6. График функции нескольких переменных y = f(x) – множество точек пространства Rⁿ⁺¹ : .

График функции 2-х переменных – множество точек пространства R³:

.

Большинство известных поверхностей второго порядка – графики функций 2 – х переменных.

Например: z = x²+y² – параболоид вращения; z = - полусфера.

О поведении функции можно судить и по изображению ее линий (поверхностей) уровня.

Определение 1.7.Множество точек х=(x₁,x₂,...,x_n) пространства Rⁿ, координаты которых удовлетворяют уравнению f(x₁,x₂,...,x_n)=C, где С Е(f) -- произвольная постоянная, называется множеством уровня (уровнем) функции f.

Если n=2, тогда множество уровня называется линией уровня.

Если n=3, тогда -- поверхностью уровня.

Kалі n>3, тогда – гиперповерхностью уровня.

Пример 1.2. Найти линии уровня функции z=xy.

Рашэнне. В данном случае xy=C. Поэтому линиями уровня являются гиперболы, если С0.

Пример 1.3.Найти поверхности уровня функции .

Решение.Поверхности уровня данной функции задаются уравнением , которое определяет совокупность сфер радиусов R= с центром в начале координат, если C>0.

Физики, рассматривая функцию n переменных с областью определения D(f), говорят, что в пространстве Rⁿ имеется скалярное поле D, заданное функцией f.

Термин “скалярное поле” происходит от латинского слова scala (скала) – “шкала”, “лестница”.

Определение 1.8. Говорят, что в области D задано скалярнае поле, если каждой точке М D поставлено в соответствие некоторое число f(М).

Физические примеры скалярных полей: поле температур какого-либо тела; поле плотности зарядов на какой-либо поверхности; поле плотности масс какого-либо тела.