§7.Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция 2-х переменных f в каждой точке М(х,у) области G имеет частные производные 1-го порядка и , которые являются функциями 2-х переменных в области G. Найдем частные производные от этих функций:

, , , .

Это частные производные 2-го порядка, которые являются также функциями 2-х переменных, и поэтому можно находить частные производные этих функций, которые называются частными производными 3-го порядка. Рассуждая аналогично, определим производные п-го порядка – это частные производные от частных производных (п-1)-го порядка.

Пример 7.1. Найти частные производные 2-го порядка функции

Производные и называются смешанными производными. Вообще говоря, смешанные производные не равны между собой.

Примем без доказательства теорему.

Теорема 7.1. Если смешанные частные производные функции f, которые отличаются только порядком дифференцирования, являются непрерывными в точке М(х,у) функциями, то они равны между собой в этой точке.

В этом случае говорят, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Пусть функция 2-х переменных f в каждой точке М(х,у) области G имеет частные производные 1-го порядка , и дифференциал df, который является функцией 2-х переменных:

df(x ,у) dx + dy. (7.1)

Будем считать в каждой точке М(х,у) dx и dу – константами (dx=x, dу=у). Если функция df(x ,у) дифференцируема в каждой точке М(х,у) области G, то d(df(x ,у)) называется дифференциалом 2-го порядка функции f в точке М и обозначается d²f(x ,у). Аналогично определяются дифференциалы 3-го, 4-го и др.порядков:

d³f(x ,у), d⁴f(x ,у), … , dⁿf(x ,у)= d(d^n-1f(x ,у)).

Найдем формулу для вычисления дифференциала любого порядка.

На основании формулы (7.1) найдем d²f(x ,у), учитывая, что при вычислении дифференциалов от , приращение независимых переменных х и у берутся такими же, как и в выражении для df(x ,у), т.е. равными dx и dу .

d²f(x ,у)= d(df(x ,у))= d( dx + dy) = ( dx + dy)dx + ( dx + dy)dy = dx² +2 dydx + dy²= (7,2),

где dx²=(dx)²

dy²=(dy)²

Символ ( )² не означает возведение в степень, а только формальное исполнение этой операции.

Методом математической индукции можно доказать, что

dⁿf(x ,у)= , (7.3)

где при вычислении пользуются формулой бинома Ньютона.

Например.

d³f(x ,у) = = dx³+ dx²dy + dx²dy + dy³.

Замечание. Для сложных функций дифференциал порядка выше первого не обладает свойством инвариантности.

§8. Формула Тейлора для функции двух переменных

Если функция f одной переменной (n+1) - раз дифференцируема в окрестности точки х₀, то в этой окрестности имеет место разложение функции по формуле Тейлора по степеням (x - x₀):

где (8.1)

- остаток в форме Лагранжа. (8.2)

Для функции 2-х переменных имеет место теорема.

Если учесть и учесть, что , то формула (8.1) принимает вид:

. (8.3)

Для функции 2-х переменных имеет место теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 8.1. Если функция z = f(x ,у) (n+1) – раз дифференцируема в окрестности точки (х₀,y₀), то имеет место формула

(8.4)

Формула (8.4) - формула Тейлора функции 2-х переменных.

Замечание 8.1. для функции п-переменных также формула Тейлора записывается в виде (8.4).

Теорема 8.2 (необходимое и достаточное условие постоянства функции в области). Для того, чтобы функция f была константой в области D, необходимо и достаточно, чтобы (x,у)D df(x,y) = 0.

н е о б х о д и м о с т и.

Поэтому df(x,у)= dx + dy=0.

д о с т а т о ч н о с т и.

(x,у)D df(x,y) = 0. По формуле Тейлора (8.4) 

