§ 9 Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов

Пусть дано уравнение :

y’’ + p(x)y’ +q(x)y=0 (9.1)

в котором коэффициенты p(x) и q(x) являются голоморфными функциями в окрестности (*) x= то есть

P(x) =

q(x)=

Причем ряды справа сходятся в области │x- │<

Теорема (9.1) Если функции p(x) и q(x) голоморфны в области x- │< , то существующее единственное решение (9.1) голоморфно в той же области

y= , y’ = ’ при x=

Где и ’ - произвольные заданные числа то есть решение вида :

y= + ’ (x- ) +

x- │< (9.3)

В приложениях чаще всего встречаются случаи , когда коэффициент уравнений (9.1) является либо полиномами , либо отношениями полиномов

В непрерывном случае мы получаем решение в виде степени ряда

Во втором случае радиус сходит степени ряда представим решение не меньше расстояния они (*) x= до ближайшей известной точек в координате знаменатель коэффициента рассматривается как формула комплексных переменных обращенная в ноль

Коэффициент в формуле (9.3) определяется единственным образом : если заданы и ’

Их можно определить подстановкой ряда (9.3) в уравнение (9.1) и приравнивание к нулю коэффициенты при разделении степени x= в левых частях получится равенство.

§ 10 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных

В данной лекции рассмотрим важные классы уравнения с частными произвольными

Именно важно значение в функции , к задачам теплопроводности , диффузии , колебаний струны и уравнения Лапласа

Линейное уравнение 2-го порядка с 2-умя неизвестными переменными называется уравнением вида :

AU xx + BU xy + CU yy+ DU x + EU y + FU = где A, B, C, D, E, F, G = const = G – числа

Например :

U tt= U xx + const - линейное уравнение

U * U tt + u x = 0 - нелинейное уравнение

Все линейные уравнения с частной производной 2-го порядка принадлежит к одному из следует топов :

1. Параболический тип : теплопроводность и диффузия + 4AC =0

2. Гиперболический тип : - 4AC 0

Они описали колебания системы и волнения движений

3. Электрический тип :

Эти уравнения характеризуют условия :

- 4AC 0

Описать установленный процесс

Уравнение теплопроводности

Шаг 1 :

L = 2m - степень поверхности - теплопроводности

концы – не теплопроводности

шаг 2 :

поместим стержень в устройство е = C можем считать F внутри стержня = C

шаг 3 :

вытащим из устройства стержень

= 0

И подсоединим 2 термоэл. к концам

= C =5 C

Температурные профили в различные моменты времени

U1 = U xx

0< x<L 0< t< 8 (10.1)

Метод разделения переменных

Решение уравнения (10.1) с начальными данными

U (x, 0) = 4 (x)

0 1

U (0, t) = 0 U (1,t) = 0 (20.2)

0<t<8

(x, t) = (x) * (t)

И будем подбирать коэффициент так чтобы выполнить начальное условие

U(x, t) = X (x) * T (t)

= = k

С течением времени температура стержня стремится к 0 то есть к 0 , имеет вид :

K=-

X’’(x) + x(x)=0

Характеристическое уравнение

+ =0

=

=

x(x) = A sin λ x+ B cos λ x

T(t) = *

( ,A,B – произвольный const)

U (x, t) - (A sin λ x + B cos λ x) (10.2a)

A= B =

U (0, t) U (1, t) =0

B * = 0 => B= 0

* A * sin λ =0

Sin λ = 0 => λ= n n

= * sin x

(X,T) = * * sin * x

(x, t ) = sin 3 x

(x, t ) = sin n x (10.3)

n= 1, 2, m,

Построим решение уравнения (10.1) удовлетворяющее начальному условия :

U (x, 0) = ϕ(x)

U(x, t) = sin n x (10.4)

Для этого мы подбираем коэффициент так, что :

U (x, 0) = ϕ (x)

Подставим t=0 получим :

U(x, t) = sin n p x

– коэффициент при разложенbb функции ϕ (x) в ряд Фурье по sin- сам если функция ϕ(x) разложена в ряд Фурье и нечетна , то коэффициент :

A= 2

И решение запишется в виде (10.4)

(10.4) – громоздка , но это компенсируется ее формативностью.