- •Дифференциальные и интегральные уравнения
- •§ 1 Общие понятия
- •§ 2 Дифференциальное уравнение 1-го порядка
- •2.5 Уравнение в полных дифференциалах
- •§ 3 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Лоду 2-го порядка
- •Теорема существования и единства для ду n-го порядка и систематизации ду
- •§4 Интеграция ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1 Случай :
- •2 Случай :
- •§5 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (лнду) Структура общего решения лнду 2-го порядка :
- •Метод Лагранжа Вариации произвольных постоянных
- •Интегрирование лнду 2-го порядка и правой частью специального вида :
- •Интегрирование лнду п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида
- •§6 Системы дифференциального уравнения
- •Случай :
- •Случай :
- •§ 7 Понятие об устойчивости оду и систем оду Понятие о фразовом пространстве ду
- •Устойчивость по Ляпунову
- •Простейшие типы точек покоя
- •Случай :
- •Случай :
- •Случай :
- •§8 Уравнения в частных производных Основные понятия
- •Уравнение Лапласа
- •Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
- •§ 9 Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
- •§ 10 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных
§8 Уравнения в частных производных Основные понятия
Дифференциальные уравнения с частными производными – дифференциальные уравнения , в которых неизвестная функция зависит более чем от одной переменной
Многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями с частными производными
Например :
+ + = n (x, y, z) - описание распространения светового луча в неоднородной среде с показателем преломления
n (x, y, z)
Уравнение = - 2 порядок
Описывает температуру плавления стержня
= - 2 порядок
Явление колебания струны
Уравнение Лапласа
+ + = 0
Удовлетворяет потенциалу поля в области не содержащей заряд поля
Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида
( + ( + ( = z( (8.1)
Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z.
Если правая часть 0 а коэффициент не зависит от z , то уравнение (8.1) называется линейно однородным
Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными
P (x, y, z) + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.1a)
Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно
Рассмотрим непрерывное поле :
= P (x, y, z) + Q (x, y, z) 1 + n (x, y, x)
Векторные линии поля , то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления
= dx + dy + dz ,
- =
Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью
Векторные поверхности характерны тем, что вектор направлен по нормали к поверхности. В точке поверхность ортогональна полю , то есть :
( * ) =0 (8.2)
Если векторная поверхность
+ -
и условие (8.2) принимает вид :
P (x, y, z) * + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.3)
Если векторная поверхность задаётся:
U (x, y, z) = 0
+ -
И уравнение (8.2) приобретает вид :
P (x, y, z) * + Q (x, y, z) + R (x, y, z) = (8.4)
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий
То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий
Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий :
- = (8.5)
из 2-ух параметрических семейств векторных линий
Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства
Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф ( ) = 0 тогда параллелограмм и
Исключение из системы :
Ф- произвольная функция (непрерывная)
Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции
Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля
= P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z)
А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением
То функция (8.6) уже не будет произвольной , определяемая присутствием исключений x, y, z из системы
(x, y, z) =
(x, y, z) =
Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0 , =0
Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :
Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0
(x, y, z) = 0 является характеристикой , т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.
Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями , рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
+ 8 =0
+ 2 =0
∞ < x < +∞
0 < t < ∞
(x, 0) = f(x)
(x, 0) = d(x)
Эта задача может соответствовать определению давления и плотности , как формула u пространствует координатам x и времени t
(x, 0) = f(x) - давление
(x, 0) = d(x) - плотность
x - координат
t – время
Запишем систему уравнений в матричной форме
+ =
+ A = (8.7)
A =
=
=
=
Введение новой неизвестной функции v = с помощью преобразования u = pv , где p- матрица , по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.
Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :
det (A – λ E)=0
или = 0 – 16 = 0 = 4 = - 4
Найдём собственный вектор соответствующий собственному значению = 4 из системы
(A – E) ( ) = 0
= =1
=2 =>
P=
= - 4
= = 1,
= - 2
P=
* = det p= 4
AP = = = = B
Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определения v получится очередная простая система 2 уравнения относительно новых , после того по формуле pv находится искомая формула но сначала вычислим, как выглядит система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем :
= p
= p (8.8)
Теперь подставим соотношения (8.8) в системе :
+ A = 0
+ A│ = 0 │*
+ A =0
+ B = 0 (8.9)
Раньше мы уже видели , что B
Заменим (8.9) в развернутой форме :
(8.10)
Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут :
=
x- 4t =
= ϕ (x-4t)
: =
x-+4t =
= ϕ (x+4t)
Для получения общего решения нужно выполнить по формуле : u=pv
= =
(x, t) =
(x, t) =
Решается задание Коши :
│2
Φ(x) = (f(x)+2y(x))
Ψ(x)= (2f(x)- f(x)) =>
Ответ :
(x, t) = (f(x-4t)+2y(x-4t))- (2y(x+4t)-f(x+4t))
(x, t) = (2y(x-4t)-f(x-4t)+ (2d(x+4t)-f(x+4t))
Замечание : часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений , а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка.