Теорема существования и единства для ду n-го порядка и систематизации ду

Теорема (3.5)

Существует единственное решения ДУ n-го порядка

= f (x, y, y’, y’’ , …

y ( ) =

y’ ( ) = ’

= ‘’ , … , ( ) =

Если в окрестности начальной точки : ( , , ’, ’’ , )

Функция f – является не прерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяющая условию Липшица по всем аргументам начиная со второго

Теорема (3.6)

Существование и единственности решения системы :

= f I ( x, )

( ) = y I 0 (i= 1, 2, … , n) (3.9)

Предположим , что в области Д , определённое неравенством :

– a x + a i = (1, 2, … , )

– bi + bi

Правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условию :

① (x, ) i= (1, 2, … , n) │ │ M

② все формулы (1 … n) удовлетворяет условия Липшица

│ (x, y, │

§4 Интеграция ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :

y’’ + py’ + ϕ y = 0 (4.1)

Интеграция ДУ 2-го порядка с носителем коэффициента

В частном случае в рассмотренным выше линейно однородном уравнение является ЛОДУ 2-го порядка.

Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка (и 1) где p и q = const

y = (Л. Эйлер)

Подставим y = в уравнение (4.1)

y ‘=k , y ‘’=

+ p ‘k + q = 0 (4.2)

+ pk +q = 0 (4.2 a)

Уравнение (4.2 а) называется Характеристическим для уравнения (4.1)

При решении (4.2 а) возможны 3 случая

1 Случай :

Корни в (4.2 а) действительны и различны

= = линейно не зависимые и образуют фундаментальную систему уравнения (4.1)

В этом случае общие решения записываются в виде :

y=

= const

2 Случай :

Корни действительны, но одинаковы

Дискриминант при этом = 0

В этом случае имеем 1 решение :

=

Покажем , что = =

Покажем , что функция = , будет также решением уравнения (4.1)

’ = + = (k1x + 1)

’’ = ( x + + )

y’’ + py’ + q y = 0 (4.1)

( x + ) + p (k1x + 1) + q * x = 0

x ( x + +q) + + p = 0

Поскольку дискриминант = 0 = - = является решением уравнения (4.1)

Общее решение :

= α + = α -

Д 0

=

=

= cos ϕ + sin ϕ

= ( cos bx + I sin bx)

= ( cos bx - I sin bx)

= = cos px

= = sin px

y = cos bx + sin bx

Пример 1 :

Решение уравнения : ‘ + 25 y = 0

– 6k + 25 = 0

Д = 36 – 100 = -64

= = 3 4 i

Ответ : = * cos 4x + * sin 4x

Таким образом , чтобы решить уравнение (4.1) нужно решить характеристическое уравнение (4.2 а) и выписать решение без интегралов

Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ п – го порядка

(n 2)

С постоянный коэффициент :

+ + + …. * y = 0

Где R

Решение аналогичного случая уравнения 2 – го порядка

Выписываем характеристическое уравнение

+ + + …. = 0 (4.5)

и находим n-го числа его корней в том числе и комплексных :

Ki = kj

= 0

= 5

В этом случае кратноcть = 3 (кратность корня)

Если кратность = 1 , то Ki называется простым корнем

Cлучай 1:

Все корни (4.5) действительны и различны

Общее решение :

y=

Пример 2 :

Найти общее решение уравнения :

y’’’- y’’’ – 4y’ + 4y = 0

– 4k +4 = 0

= 1

(k-1) – 4 (k-1) = 0

(k-1) ( -4) = 0

(k-1) (k-2) (k+2) = 0

y =

Случай 2:

Все корни действительны , но есть кратные ;

Тогда корню K кратности m соответствует решение y =

Случай 3 :

Среди корней есть комплексные сопряжённые

Тогда каждой паре α простых корней соответствует пара решений :

cos bx sin bx

cos bx ; x sin bx

sin bx , … , sin bx