Билет №8

1. Алгебра логики. Логические константы, логические переменные, логические операции, логические функции.

1. Контроль работы цифрового автомата.

1) Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными. В алгебре логики используют алгебраические методы для решения логических задач.

Объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание – это повествовательное предложение, содержание которого можно определить как истинное или ложное. Истинному значению высказывания ставится в соответствие 1(TRUE), ложному 0(FALSE).

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение 1 при любых условиях. Такое высказывание называется тавтологией (логическая константа 1).

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение 0 при любых условиях (логическая константа 0). Такое высказывание называется противоречием.

Логические константы - это логическое высказывание (выражение) может быть либо истинно, либо ложно. Истине соответствует константа True, значению "ложь" - константа False

Логическая переменная - это переменная, принимающая только логические значения: "истина" или "ложь", которые в ЭВМ могут быть представлены в виде 1 и 0. В языках программирования эти значения обычно обозначаются 1, true, т или 0, false, F, соответственно. Л. п. вводятся в программу с помощью описания переменной, в котором указываются идентификатор (имя) переменной и ключевое слово, определяющее логический тип. В качестве ключевых слов в описаниях Л. п. применяются: logical - в Фортране и Boolean - в Паскале. См. описание переменной

Основные логические операции.

• Инверсия – логическое отрицание. Обозначается: или ¬х. Читается «не х».

• Высказывание истинно при ложном х и ложно при истинном х.

• Конъюнкция – логическое умножение. Обозначается символами: (или знак операции может быть вообще опущен), х₁ и х₂.

• Дизъюнкция – логическое сложение. Обозначается: х₁ ٧х₂, х₁ + х₂, х₁ или х₂.

Эти три операции являются основными.

Остальные операции выражаются через первые три операции: инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию.

• Импликация – логическое следование. Обозначается: х₁ х₂. Высказывание х₁ -> x₂ истинно только тогда, когда правый операнд является истинным, а левый операнд ложным.

• Эквивалентность(равносильность, необходимо и достаточно). Обозначается: символами . Высказывание истинно тогда и только тогда, когда операнды равны.

• Сложение по модулю 2(исключающее или). Обозначается символом .

• Высказывание истинно тогда и только тогда, когда операнды не равны.

• Коимпликация – отрицание импликации ( )

• Штрих Шеффера – отрицание конъюнкции (x₁ / x₂)

• Стрелка пирса – (отрицание дизъюнкции) (x₁ ↓ x₂)

Порядок выполнения операций задаётся круглыми скобками. При отсутствии скобок порядок выполнения операций следующий: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Составное высказывание (формула алгебры логики, логическое выражение) состоит из нескольких высказываний, соединённых логическими операциями. Исходные высказывания могут быть логическими переменными или логическими константами.

Логические функции:

f (x₁, x₂, … x_n)

Логические функции от n переменных называется функция, принимающая значение истина или ложь на любых наборах переменных x₁ … x_n, где каждая x_i принимая значение либо истина, либо ложь.

n – количество 2^{2^n}.

2) При работе ЦА могут произойти те или иные сбои, приводящие к искажению информации. Поэтому при проектировании ЦА должны предусматриваться средства, позволяющие контролировать, выявлять и исправлять возникающие ошибки. Решение всех задач контроля становится возможным только при наличии определенной избыточности информации, которая сопровождает основную информацию. Иначе говоря, при представлении числа в каком-либо коде, необходимо предусмотреть в этом коде дополнительные (контрольные) разряды.

Систематический код – это код, содержащий в себе информационные и контрольные разряды. В контрольные разряды записывается некоторая информация об исходном числе, поэтому систематический код обладает избыточностью.

При этом абсолютная избыточность будет выражаться количеством контрольных разрядов – k, а относительная избыточность – , где m – количество информационных разрядов.

Понятие корректирующей способности кода связывают с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки. Корректирующая способность кода связана понятием кодового расстояния.

Кодовое расстояние (Хемингово расстояние) d для кодовых комбинаций A и B определяется как вес такой третьей комбинации, которая получается сложением исходных комбинаций по модулю 2. Вес кодовой комбинации V – это количество единиц содержащихся в кодовой комбинации.

Например, A=100111001 и B=011011100. Отсюда веса кодовых комбинаций будут равны: V(A)=5, V(B)=5. Кодовая комбинация C=A+B=111100101, вес этой кодовой комбинации равен V(C)=6. Таким образом кодовое расстояние для A и B – d(A,B)=V(C)=6.

В любой позиционной системе счисления минимальное кодовое расстояние равно 1. В теории кодирования показано, что систематический код обладает способностью обнаружения ошибки только тогда, когда код расстояния для него больше или равен 2t. Следовательно, , где t – кратность обнаруживаемых ошибок. Это означает, что между соседними кодовыми комбинациями должна существовать, по крайней мере одна кодовая комбинация.