2) Аналитическое представление функций алгебры логики

Существует много способов задания логических функций. Ранее был рассмотрен табличный способ, при котором каждому набору значений переменных в таблице истинности указывается значение самой логической функции. Однако при анализе свойств функций алгебры логики (ФАЛ) такая запись не является компактной. Проще

выглядит аналитическая запись в виде формул.

Рассмотрим фиксированный набор переменных {x₁, x₂, … ,x_n}, на котором задана функция алгебры логики. Так как любая переменная x_{i =} {0,1}, то набор значений переменных фактически представляет собой

некоторое двоичное число. Представим, что номером набора будет произвольное двоичное число i, получаемое следующим образом:

(2.10)

Пусть имеется функция Ф_i (x₁, x₂, …, x_n):

0, если номер набора равен i;

Ф_i =

1, если номер набора не равен i.

Функцию Ф, называют термом.

Дизъюнктивный терм (макстерм) — терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции.

Конъюнктивный терм (минтерм) — терм, связывающий переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком конъюнкции. Обозначается минтерм следующим образом:

1, если номер набора равен i;

F_i =

0, если номер набора не равен i.

Ранг терма r определяется количеством переменных, входящих в данный терм.

На основании вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена аналитически в виде:

f(x₁, x₂, … ,x_n) = F₁ F₂ F_n = F_i (2.11)

где i — номера наборов, на которых функция равна 1; — знак дизъюнкции, объединяющий все термы F_i, равные единице.

Нормальная дизъюнктивная форма (ИДФ) — объединение термов, включающее минтермы переменного ранга.

Количество всех термов, входящих в состав (2.11), равно количеству единичных строк таблицы.

Для представления ФАЛ в (2.11) используется совокупность термов, объединенных знаками дизъюнкции (v или +). Можно использовать также другую элементарную логическую операцию. Сформулируем основные

требования к этой операции.

Требование 1: если какой-либо терм F_i = 1, то функция должна быть равна единице.

Требование 2: если какой-либо терм F_i = 0, то функция может быть равна единице.

Необходимо, чтобы при значениях термов F_i =0 функция была равна нулю.

Таким образом, получили, что искомой функцией, кроме функции ИЛИ, может быть функция разноименности и при этом справедливым становится такое следствие из теоремы (2.11):

С л е д с т в и е : любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена

в следующей аналитической форме:

f(x₁, x₂, … ,x_n ) = F₁ F₂ F_k (2.12)

где знак обозначает операции v , .

Требования 1 и 2 можно обобщить и потребовать, чтобы аналитическое представление нулевых и единичных строчек таблицы различалось и чтобы выполнялось взаимно-однозначное соответствие между нулевой единичной строкой и термом.

Требование 3: если какой-либо терм Ф_i = 0 , то функция должна быть равна нулю.

Требование 4: если все термы Ф_i = 0, то функция f = 1.

Выполняя эти требования, можно прийти к двум другим возможным функциям: конъюнкции и равнозначности .

Теорема. Любая таблично заданная ФАЛ может быть задана в аналитической форме:

f(x₁, x₂, … ,x_n) = Ф₁ Ф₂ Ф_k (2.13)

где k — количество двоичных наборов, для которых Ф = 0.

Нормальная конъюнктивная форма (НКФ) — объединение термов (2.13), включающее в себя макстермы разных рангов.

С л е д с т в и е : любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена в аналитической форме:

f(x₁, x₂, … ,x_n) = Ф₁ Ф₂ Ф_k (2.14)

где k- количество нулевых значений функции.