9.2. Качественный анализ процесса дросселирования с помощью уравнения Ван-дер-Ваальса

9.2.1. Построение инверсионной кривой

Как указывалось в п.8, для получения инверсионной кривой необходимо знать конкретный вид уравнения состояния реального газа. Предположим, что реальный газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.

Для вычисления дифференциального дроссель-эффекта по зависимости (4.4) необходимо знать частную производную для реального газа.

Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса в виде:

. (9.10)

После дифференцирования этого уравнения при P = const получим:

,

откуда

. (9.11)

После подстановки уравнения (9.11) в уравнение (4.4) получим:

. (9.12)

Значения постоянных Ван-дер-Ваальса возьмем при определяющих параметрах T_К и Р_К:

; ; .

Как было указано в параграфе 9.1, при таком варианте сочетаний определяющих параметров, расчетная критическая изотерма ближе всего подходит к критической точке.

Для построения кривых зависимости дифференциального дроссель-эффекта от температуры при P = const, задаемся рядом значений V, затем по формуле (9.10) определяем Т, после чего эти V и Т подставляем в уравнение (9.12).

На рис. 9.2 представлены графически результаты определения α_i для воздуха [1].

В расчетах принималось: T_К = 133,46 °К, Р_К = 3,7 МПа, С_Р = 1015 Дж/(кг°К), R = 287 Дж/(кг°К). При этих исходных данных по формулам (9.8) определены значения двух остальных постоянных уравнения Ван-дер-Ваальса:

а = 164,78 (Н∙м⁴)/кг²; b = 1,28∙10^-3 м³/кг.

На рис. 9.2 точки пересечения кривых с осью температуры при P = const являются точками инверсии для данного давления Р. Из двух точек пересечения меньшему значению температуры соответствует нижняя точка инверсии, а большему значению Т – верхняя.

Рис. 9.2. Дифференциальный дроссель-эффект в зависимости от температуры перед дросселированием при различных начальных давлениях воздуха.

Точки инверсии, перенесенные в Р-Т координаты и соединенные плавной кривой, дают инверсионную кривую (рис. 9.3). Относительное превышение давления в точке максимума инверсионной кривой (Р_im) над критическим давлением воздуха (Р_К = 3,7 МПа) по расчетам составляет Р_{i m}/ Р_К = 9 (в опытах для воздуха Р_{i m}/ Р_К = 10,8).

Рис. 9.3. Инверсионная кривая воздуха [1]

Аналогичным образом на рис. 9.4 построена расчетная инверсионная кривая для кислорода (Т_К = 154,58 °К, Р_К = 5,043 МПа), из которой следует, что давление в точке максимума кривой инверсии (Р_im) в девять раз превышает критическое давление Р_К (в опытах для кислорода Р_{i m}/Р_К = 12).

Рис. 9.4. Инверсионная кривая кислорода в относительных параметрах [2]

При Р = 0,1 МПа большинство газов имеют довольно высокую температуру верхней точки инверсии (800 °К и более), за исключением водорода (193 °К) и гелия (37 °К).

9.3. Расчетное определение термодинамических параметров в точке максимума инверсионной кривой

Определим параметры точки максимума инверсионной кривой (V_{i m}, T_{i m}, Р_{i m}) через параметры критической точки (V_К, T_К, Р_К). В соответствии с (8.4), условием максимума инверсионной кривой в общем случае является равенство:

.

По формуле (9.11)

.

Подставим в это уравнение значение Р, выраженное в явном виде (9.9) из уравнения Ван-дер-Ваальса:

.

Тогда

или

. (9.13)

Эта формула для анализа удобнее (9.11), поскольку не содержит Р. Продифференцировав (9.13) по Т при Р = const, получим:

. (9.14)

Эта формула обращается в нуль, если V = 3b (как показывалось выше, V >> b).

Но в соответствии с уравнением (9.7) равенство V = 3b выполняется только в критической точке. Так как (9.14) обращается в нуль при V = V_К, то в точке максимума кривой инверсии объем газа равен V_К:

V_{i m} = V_К = 3b. (9.15)

Таким образом, в P-V координатах точки Р_{i m} и Р_К находятся на одной прямой V_К = const.

В точке максимума инверсионной кривой выполняется условие , которое в соответствии с (9.5) принимает вид:

или

или

,

откуда

.

Но из (9.7)

,

следовательно

. (9.16)

Таким образом, в соответствии с уравнением Ван-дер-Ваальса, в точке максимума инверсионной кривой температура должна в три раза превышать критическую.

Уравнение (9.9) для точки максимума инверсионной кривой имеет вид:

.

Так как V_{i m} = V_К = 3b, а T_{i m} = 3T_К, то

,

где .

Тогда

.

Но из (9.8):

.

Окончательно

. (9.17)

Таким образом, в соответствии с уравнением Ван-дер-Ваальса, в точке максимума инверсионной кривой давление должно в 9 раз превышать критическое.

Средние значения термодинамических параметров в точке максимума инверсионной кривой, полученные в экспериментах, составляют:

, , .

Это среднее значение T_{i m} для различных веществ составляет (1,62 ÷ 2,06)Т_К.

Как следует из рис. 9.3 и рис. 9.4 результаты расчетного определения V_im, T_im и Р_im количественно удовлетворительно согласуются с их значениями, полученными в экспериментах.

Качественно инверсионные кривые, полученные с использованием уравнения Ван-дер-Ваальса, правильно описывают реальные процессы, что очень важно для выяснения сути процессов дросселирования и анализа их результатов.