4.2. Общие формулы для дифференциального дроссель-эффекта

Как известно из общей термодинамики, энтальпия является функцией состояния, поэтому di является полным дифференциалом.

На этом основании, полагая i = i(T, P), получим по правилам математики

.

Значения частных производных в этом уравнении определяются из первого начала термодинамики, записанного в энтальпийной форме:

.

• Так как , то при P = const, , dP = 0 и .

• Так как , то , откуда при Т = const

.

Эта частная производная относится ко второму типу дифференциальных соотношений термодинамики, поэтому

.

Тогда

и

_.

Интегрирование этого уравнения приводит к следующему результату:

_.

Так как при дросселировании i₂ = i₁, то

или

_.

Интегрирование этого уравнения дает

.

Из сравнения этого результата с формулой (4.3) для интегрального дроссель-эффекта следует:

. (4.4)

В этой формуле T, V, C_P относятся к состоянию рабочего тела перед дросселем.

Ранее было показано, что при дросселировании идеального газа его температура не изменяется. Этот же результат можно получить, если в формулу для дифференциального дроссель-эффекта подставить значение частной производной для идеального газа.

Как известно из общей термодинамики для идеального газа

.

Тогда

.

Таким образом, у идеального газа α_i = 0 при всех значениях давления и температуры.

У реальных газов значения Ср, V, зависят от величины давления и температуры, поэтому α_i у этих газов так же зависит от Р и Т.

Можно получить еще одну формулу для α_i, если выразить частную производную как произведение двух частных производных:

.

Задача при этом сводится к нахождению значений этих двух частных производных и выражения их через частные производные, не содержащие энтальпию i.

Подробный вывод второй формулы для α_i в варианте автора данного пособия дается в приложении (П.1).

. (4.5)

Эта формула очень удобна для исследования процесса дросселирования в различных областях фазовых состояний вещества.

5. Дифференциальный дроссель-эффект в области двухфазных состояний вещества

В данном случае под двухфазным состоянием вещества понимается область его влажного насыщенного пара (ВНП).

Рис. 5.1. Фазовая P-V диаграмма вещества

На рис. 5.1 это область внутри пограничной кривой – совокупности нижней (х = 0) и верхней (х = 1) пограничных кривых.

Как известно, в области двухфазных состояний вещества изотермические процессы (Т = const) являются одновременно и изобарными (отрезок С'С'').

Таким образом, в двухфазной области (ВНП)

.

При этом формула (4.5) для α_i принимает вид:

.

Но в области двухфазных состояний значение Р_Н зависит только от Т_Н и не зависит от величины удельного объема (см. рис. 5.1), поэтому в области ВНП

.

Окончательно

. (5.1)

Как следует из фазовой Р-Т диаграммы (рис 5.2), угловой коэффициент кривой АК (геометрическое место точек равновесного сосуществования жидкости «Ж» и пара «П»), всегда положителен

,

и поэтому

. (5.2)

Рис. 5.2. Фазовая Р-Т диаграмма

Таким образом, дросселирование в области ВНП всегда приводит к понижению температуры. Это хорошо иллюстрируется i-S диаграммой (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Процесс дросселирования на i-S диаграмме.

Как известно, Р_Н и Т_Н связаны уравнением Клайперона-Клаузиуса:

.

Все точки на кривой АК (рис. 5.2) подчиняются этому уравнению. Поэтому

. (5.3)

Здесь V₁' и V₁'' – удельный объем (м³/кг) сухого насыщенного пара вещества и его кипящей (насыщенной) жидкости при начальном давлении дросселирования Р₁ (Па);

и r₁ – абсолютная температура насыщения (°К) и скрытая теплота парообразования (Дж/кг) при давлении Р₁.

С ростом давления отношение растет, но разность убывает быстрее, поэтому с ростом Р₁ величина убывает.