Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
spory_po_MO.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
31.07.2019
Размер:
585.22 Кб
Скачать

22. Условие существования оптимального решения задачи линейного программирования

Теорема 1. Пусть исходная задача решается на максимум. Если для некоторого опорного плана все оценки j неотрицательны, то такой план оптимален. Доказательство. Так как Z= 0 и по условию j0 , то Z достигает максимального значения при =0. Это возможно лишь при xm+1=0, xm+2=0, ..., xn=0, т. е. опорный план (b1, b2, ..., bm, ) оптимален.

Теорема 2. Если исходная задача решается на минимум и для некоторого опорного плана все оценки j неположительны, то такой план оптимален.

Доказательство аналогично предыдущему случаю.

Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным.

23. Метод прямого перебора решения злп

Метод прямого перебора – метод, когда перебирают угловые точки и подставляют в целевую функцию любое базисное решение системы линейных уравнений (координаты угловой точки). Из них выбираем минимальное.

Если известна функциональная связь целевой функции Y и искомой переменной X, то можно последовательно вычислить значения целевой функции для некоторых значений искомой переменной. Вычисления повторяются до тех пор, пока не будет найден min (max) значения целевой функции

Y=f(x1, ..., xi, ..., xn, u1, ..., uj, ..., um),

xi=x0i+xik (k=0, 1, 2, ..., l).

Этот метод может быть использован для решения задач исследования операций, если имеются одна искомая переменная или несколько с небольшим диапазоном изменения искомых переменных.

Особенность и преимущества метода прямого перебора заключаются: 1) в независимости поиска от вида и характера целевой функции; 2) в цикличности поисковой процедуры; 3) в определении глобального экстремума целевой функции; 4) в простоте алгоритма и программы оптимизации; 5) в малом объеме необходимой машинной памяти.

В случае большой области изменения искомой переменной и (или) наличия более чем одного экстремума исследуемой функции использование этого метода неэффективно.

24. Основная идея симплекс-метода решения злп и ее теоретическое обоснование

Его суть в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведмо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей). Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого симплексного метода ( метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП. Итак, симплексный метод предполагает : 1) умение находить начальный опорный план; 2) наличие признака оптимальности опорного плана; 3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Теоретические обоснования симплекс-метода.

Любую ЗЛП можно представить в эквивалентном предпчтительном виде:

max(min) , (2.58)

(2.59)

(2.60)

Выразим базисные переменные х1, х2, ..., xm из равенств (2.59) через свободные хm+1, хm+2, ..., xn и подставим их в целевую функцию. После группировки подобных членов получим

Z=(c1b1+c2b2+...+cmbm)–((c1a1,m+1+c2a2,m+1+...+cmam,m+1)–cm+1)xm+1+(( c1a1,m+2+

+c2a2,m+2+ ... +cmam,m+2)–cm+2)xm+2+...+((c1a1n+c2a2n+ ... +cmamn)–cn)xn (2.61)

Введем обозначения:

0= c1b1+c2b2+...+cmbm=сбА0 ,(2.62)

j=(c1a1j+c2a2j+...+cmamj)–cj= сбАjcj , (2.63)

где сб=(c1, c2, ..., cm) вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных; А0=(b1, b2, ..., bm)T  вектор-столбец свободных членов; Аj=(a1j, a2j, ..., amj)T вектор-столбец коэффициентов при переменных хj.

С учетом равенств (2.61)(2.63) задача (2.58)(2.60) примет вид:

max(min)Z= 0 – (2.64)

(2.65)

(2.66)

где0= сбА0 ;j=сбАj–cj

Задачу (2.64)(2.66) записывают в таблицу, которая называется симплексной (табл.1). Последнюю строку называют индексной строкой (строкой целевой функции), число 0= сбА0 значение целевой функции для начального опорного плана х0, т.е. 0=Z(х0). Числа j=сбАjcj называются оценками свободных переменных.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]