14. Отыскание исходного опорного базиса.

1) начинаем с преобразования системы методом последовательных исключений, причем выбор разрешающего элемента на начальном этапе может быть совершенно произвольным;

2) если после приведения системы к единичному базису появились отрицательные свободные элементы, выберем среди них наибольший по абсолютной величине и вычтем почленно выделенное таким образом уравнение из всех остальных уравнений с отрицательными свободными членами. Само же выделенное уравнение перепишем, умножив все коэффициенты на -1;

3) дальнейшие преобразования системы будем проводить согласно правилам однократного замещения, выбирая разрешающий столбец из условия, чтобы он имел в выделенной строке положительный элемент. Для выбора разрешающей строки вычисляем отношения A_io к A_ip и берем в качестве разрешающей строку с минимальным полученным значением;

4) предположим, что после выполнения некоторого количества итераций (3) мы все же не смогли выделить базис полностью и пришли к таблице, в которой выделенная строка не имеет ни одного положительного элемента, кроме свободного члена. Очевидно, что процесс последовательных преобразований на этом обрывается, ибо становится невозможным выбор разрешающего столбца по указанному выше принципу. Нетрудно прийти к выводу, что в этом случае исходная система уравнений не имеет ни одного решения с неотрицательными значениями неизвестных, в том числе и опорного решения, или, как говорят, несовместна в области неотрицательных (допустимых) решений.

В случае, если исходная система имеет хотя бы одно опорное решение, после конечного числа описанных выше итераций будет получено исходное опорное решение.

15. Переход от одного опорного решения к другому.

1) разрешающий столбец (номер p) выбирается так, чтобы в нем оказался хотя бы один положительный элемент A_ip > 0;

2) разрешающая строка (номер q) выбирается из условия, чтобы отношение было наименьшим из значений при A_ip > 0.

Для этого необходимо найти новый базисный столбец, который мы выбираем по следующим правилам:

1)в качестве разрешаюшего столбца выбираем любой свободный столбец, содержащий хотя бы одно положительное число

2)разрешающая строка, в которой б/аi - min

16. Каноническая форма задачи линейного программирования

Канонической формой записи ЗЛП называют задачу

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Существуют 5 основных признаков представления задачи линейного программирования в канонической форме:

1)минимизация целевой функции (2.24);

2)запись системы ограничений в виде строгих равенств (2.25);

3)условие неотрицательности на все переменные (2.26);

4)наличие в системе ограничений исходного базиса;

5)неотрицательность всех свободных членов в системе ограничений.

17. Приведение задачи линейного программирования к канонической форме

При необходимости задачу максимизации можно заменить задачей минимизации, и наоборот.

Если в исходной ЗЛП целевая функция максимизируется, т.е.

то выполнив замену Z₁=–Z, получаем новое выражение

эквивалентную ЗЛП.

Для перехода к канонической форме необходимо заменить все неравенства на строгие равенства.

Пусть исходная ЗЛП имеет вид

(2.29) (2.30)

(2.31) (2.32)

Преобразуем ее к каноническому виду. Введем m дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных x_n+i  0 ( i = ). Для того чтобы неравенства типа  (2.30) преобразовать в равенства, к их левым частям прибавим дополнительные переменные x_n+i  (i = ), после чего система неравенств (2.30) примет вид (2.33)

Для того чтобы неравенства типа  (2.31) преобразовать в равенства, из их левых частей вычтем дополнительные переменные x_n+i ( i = ) . Получим (2.34)

Систему уравнений (2.33), (2.34) с условием неотрицательности дополнительных переменных называют эквивалентной системе неравенств (2.30), (2.31).

Дополнительные переменные x_n+i  ( i = ) в целевую функцию вводятся с коэффициентами, равными нулю. Получим задачу:

(2.35) (2.36)

(2.37) (2.38)

Задача (2.35)—(2.38) имеет каноническую форму.

В ряде производственно-экономических ситуаций не на все переменные налагаются условия неотрицательности. В подобных ситуациях, даже если ограничения представлены в виде равенств, задача не будет канонической. Для представления такой задачи в каноническом виде каждую из переменных x_k , на которые не наложено условие неотрицательности, заменим разностью двух неотрицательных переменных и , т.е. , где . Очевидно, что при этом мы получим эквивалентную задачу.