41. Чистые и смешанные стратегии матричных игр с нулевой суммой, платежная функция

Наличие седловой точки в игре — это далеко не правило, скорее — исключение. Большинство игр не имеет седловой точки.

Чистой стратегией называется возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1. Это так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает предысторию ее развития, то есть результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить: шашки, шахматы, «крестики и нолики».

Если игра не имеет седловой точки, то для ее решения используются смешанные стратегии. Смешанной стратегией называется вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии. Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор U=(u₁, u₂, ...u_m), а второго — как вектор Z=(z₁, z₂,...z_n), где u_i0 (i=1...m), z_j0 (j=1...n), =1, =1. Применение смешанных стратегий мыслится таким образом: игра повторяется много раз; перед каждой партией игры, когда игроку предоставляется личный ход, он «передоверяет» свой выбор случайности. Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведет себя противник в данной партии. Такая тактика часто применяется в карточных играх .

47. Статистические игры. Критерии для принятия решений.

Во многих задачах, приводящих к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой». Такие игры называются играми с природой.

Рассмотрим ряд критериев, используемых при решении игр с природой. При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания риска).

Критерий Байеса. Если вероятности состояния природы P_j равны q_j (j=1...n), =1, то выбор i-стратегии обеспечивает математическое ожидание выигрыша, равное . Принимается решение об использовании стратегии, для которой имеет место .

Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

Максиминный критерий Вальда. Этот критерий совпадает с критерием выбора стратегии, позволяющим получить нижнюю цену игры для двух лиц с нулевой суммой. Согласно этому критерию выбирается стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыши, не меньше, чем .

Критерий минимального риска Сэвиджа. Этот критерий рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту стратегию, при которой величина риска минимизируется в наихудших условиях, т. е. обеспечивается .

Критерии Вальда и Сэвиджа основаны на самой пессимистической оценке обстановки.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение , где .

При =0 имеем критерий крайнего оптимизма, а при =1 — критерий пессимизма Вальда. При желании подстраховаться в данной ситуации  принимают близким к единице.