§9. Модели и моделирование как основы оптимизации

Моделирование – такой научно-исследовательский метод, когда реальный объект заменяется более простым, называемым моделью.

Результат исследования на модели переносится на реальный объект.

Методы моделирования основаны на понятии подобия.

Подобные объекты – объекты, у которых определяющие их состояние параметры в любой определенный момент времени, в определенной точке пространства отличаются в определенное число раз от тех же параметров в реальном объекте. Эта величина – масштаб подобия.

Подобие может быть:

• полное,

• неполное

Оптимизация - процесс получения наилучших значений параметров системы при соблюдении наложенных ограничений.

Оптимизация проводится на:

• реальном объекте,

• физической модели,

• математической модели.

Наиболее трудно проводить оптимизацию на реальном объекте, т.к. на нем либо трудно, либо дорого что-то менять.

Физическое моделирование.

Все физические процессы, которые протекают в реальном объекте, и в физической модели имеют одинаковую природу.

Преимущества:

1. Дается наглядное представление о протекающих в объекте процессах;

2. Сокращается время и затраты на проведение эксперимента.

Недостатки:

1. В моделирование вносятся погрешности, следовательно, вносятся погрешности в результаты исследований, за счет применения других приборов и методов. В результате появляется погрешность.

2. У модели могут появиться новые свойства, не характерные для реального объекта (из-за использования масштаба подобия);

3. Уменьшение сложности и объема измерений незначительны.

Математическое моделирование.

1. Основано на том, что реальный объект или процесс делится на составные части, каждая из которых может быть описана математически. Сведя все части воедино, получаем математическую модель.

2. Необходимо описать множество возможных состояний объекта.

3. Нужно разработать алгоритм, в соответствии с которым система переходит из одного состояния в другое.

Достоинства:

1. возможность получения оптимальных результатов быстро и без дорогостоящих экспериментов;

2. позволяет оценить несколько вариантов системы;

3. позволяет использовать различные математические методы оптимизации с применением ЭВМ для ускорения расчета модели;

4. объекты различной физической природы могут описываться одними и теми же математическими соотношениями, что позволяет перенести результаты исследования одних объектов на другие.

Недостатки:

1. математические модели обычно не являются моделями полного подобия, т.к. реальный объект сложен для математического описания (невозможно учесть все воздействия);

2. для сложных систем уравнений требуется большое количество вычислений;

3. при различных преобразованиях с целью упрощения вносятся погрешности в получаемые результаты;

4. математическая модель должна быть адекватной реальному объекту, т.е. качественно и количественно верно его описывать.

§10. Математическая формулировка задачи оптимального проектирования

Вектор внешних параметров:

.

Вектор внутренних параметров:

.

Множеством Y (надежность, вероятность ошибки, потребляемая мощность, быстродействие и т.д.) оперирует заказчик, а множеством X (число микросхем, габариты, технологические параметры и т.д.) оперирует разработчик.

, - ограничения на соответствующие параметры (могут быть в виде равенств и неравенств) определяют ОДЗ – область допустимых значений вариантов системы.

Уравнения связи описывают действия системы ,соотношения параметров и являются математической моделью системы:

Уравнение связи можно получить:

1. Проведением теоретических исследований;

2. Проведением технико-экономических расчетов;

3. Проведением экспериментов и аппроксимацией полученных в результате эксперимента данных;

4. Моделированием отдельных частей системы на ЭВМ и получением уравнений связи.

Проекты, которые можно получить, разделяются на 2 вида:

1. Допустимый проект - такое множество(вектор допустимых параметров Х_допХ, которое удовлетворяет соответствующим ограничениям и через уравнения связи F(x,y) позволяет получить такие параметры , которые удовлетворяют ограничениям .

2. Оптимальный проект - такое множество (вектор) допустимых параметров Х_допХ, которое обеспечивает получение оптимального значения целевой функции, при выполнении ограничений и .

Целевая функция - функция, которая количественно оценивает цель оптимизации и характеризует эффективность системы.

Существует 3 вида ограничений , :

1. в виде равенства F ( x , y );

2. в виде неравенства ><;

3. качественное ограничение – не математическое (материал, элементная база и т.п.).