8. Открытая модель. Метод потенциалов.

В результате геологических разработок и усовершенствований наших ученых добыча газа на месторождении Янбург увеличилась до 180 млн. м³/сутки

Получилась открытая модель, где Σ_i a_i<Σ_j b_j, для того, чтобы уравновесить модель можно ввести еще одну фиктивную страну, затраты на транспортировку в которую равны 0 (там будут собираться запасы). Объем потребления этой фиктивной страны должен быть равен | Σ_j b_j - Σ_i a_i |

Найдем начальный опорный план любым из методов:

Добыча Продажа _		М1	М2	М3
		170	160	180
S1	150	50	30	3150
S2	90	370	420	50
S3	70	270	20	30
S4	140	40	2140	30
S5	60	030	00	030

F=150*3+70*3+20*4+70*2+140*2+30*0+30*0=1160

Чтобы план был оптимален необходимо:

1) Сумма потенциалов должна быть равна c_ij

2) Для каждой занятой клетки сумма потенциалов ≤c_ij

Построим для каждой свободной переменной плана числа γ_ij=c_ij-(U_i+V_j) у оптимального решения они все должны быть ≥0 т.к. число потенциалов = 8, а система состоит из 7 уравнений, то для нахождения решения какому-либо потенциалу нужно придать произвольное значение, пусть U₂=0. Исходя из этого найдем другие потенциалы:

Добыча Продажа _		М1	М2	М3
		170	160	180
S1	150	50	30	3150	U1=0
S2	90	3 70+	420-	50	U2=0
S3	70	270	20	30	U3=-1
S4	140	40	2140	30	U4=-2
S5	60	030-	00+	030	U5=-3
		V1=3	V2=4	V3=3

Теперь найдем все γ_ij для свободных переменных.

γ₁₁=5-(0+3)=2≥0

γ₁₂=3-(0+4)=-1<0

γ₂₃=5-(0+3)=2≥0

γ₃₂=2-(4-1)=-1<0

γ₃₃=3-(3-1)=1≥0

γ₄₁=4-(3-2)=3≥0

γ₄₃=3-(3-2)=2≥0

γ₅₂=0-(4-3)=-1<0

Видим, что γ₁₂, γ₃₂, γ₅₂ <0 , значит, опорный план можно улучшить. Т.к. среди γ₁₂, γ₃₂, γ₅₂ минимального нет, то вектор в базис можно вводить в любой из трех клеток. Пусть это будет клетка (5;2) Но, так как добавляя нагрузку на (5;2) нарушаем баланс строк и столбцов распределительной таблицы, то следует изменить объемы поставок в ряде других занятых клеток. А чтобы число базисных переменных осталось прежним, необходимо вывести из базиса одну переменную. Выводим ту, у которой загрузка в цикле минимальна.

Строим цикл замен: начальная клетка (5;2) приписываем этой клетке знак + (увеличиваем нагрузку), и чередуем знаки в клетках (если увеличили нагрузку на одну клетку, то для достижения равновесия системы надо уменьшить нагрузку на другой). (5;2)⁺ - (5;1)^- - (2;1)⁺ - (2;2)^-

Нагрузка увеличивается и уменьшается на одну и ту же величину θ=min(x_ij), где x_ij-содержимое клеток со знаком минус.

Получим новый опорный план и проверим его на оптимальность:

Добыча Продажа _		М1	М2	М3
		170	160	180
S1	150	50	30	3150	U1=3
S2	90	390	40	50	U2=3
S3	70	270	20	30	U3=2
S4	140	40	2140	30	U4=2
S5	60	010	020	030	U5=0
		V1=0	V2=0	V3=0

F=150*3+90*3+70*2+140*2=1140

γ₁₁=5-(0+3)=2≥0

γ₁₂=3-(0+3)=0≥0

γ₂₂=4-(0+3)=1≥0

γ₂₃=5-(0+3)=2≥0

γ₃₂=2-(0+2)=0≥0

γ₃₃=3-(0+2)=1≥0

γ₄₁=4-(0+2)=2≥0

γ₄₃=3-(0+2)=1≥0

Видим, что все γ≥0, а значит план больше улучшить нельзя, получили оптимальное решение! F=1140