![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
Определение: Назовем прямоугольную матрицу ступенчатой если каждая её строка имеет не нулевой элемент и первый не нулевой элемент каждой строки начинается со 2-й расположенной правее 1 и 0 элемент предыдущей строки. В частности квадратная ступенчатая матрица называется треугольной. Из этого определения следует: число строк ступенчатой матрицы не превосходит числа её столбцов.
Элементарные преобразования строк матрицы:
1)перестановка 2-х строк матрицы
2)умножение любой строки матрицы на число < >0.
3)прибавление к элементам любой строки матрицы соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число
Теорема: Всякую не нулевую матрицу А можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и отбрасыванием нулевых строк
№13 ------------------------------------------------------------
Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
Общий вид системы линейных уравнений:
(1)
(
)-
решение системы –упорядоченная
совокупность чисел, которые при
подставлении в сумму вместо
обращает уравнения системы (1) в верное
равенство.
Запишем матрицу системы (1), добавив справа столбец свободных членов:
(2)
Матрица (2) расширенная матрица системы линейных уравнений.
Определение:
Если в
системе все bк
(k=1,...m)
равны нулю, то такая система называется
однородной.
Если хотя бы одно bк
0,
то система называется неоднородной.
Определение: Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Определение: Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой - если решений множество.
Критерий
совместности (Теорема Кронекера-Капелли):
для того, чтобы система уравнений была
совместной, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы этой системы и ранг
расширенной матрицы были равны. (
)
Доказательство:
Необходимость.
Пусть сумма (1)-совместна, докажем что
,
т.е. есть решения (
)
и
.
Из последнего столбца м.
вычтем линейную комбинацию столбцов
матрицы A,
получим матрицу
.
Достаточность.
Пусть
,
докажем, что сумма совместна. Т.к.
,
то существует минор
,
который является базисным. На основании
теоремы о базисном миноре последний
столбец матрицы
является линейной комбинацией остальных
столбцов матрицы.
(
)-
решение системы (1), т.е. система
(1)-совместна.
Критерий
определённости.
Совместная
система является определенной, если
и неопределенной, если
.(
n
– кол-во неизвестных.)
Доказательство
а) Пусть
- это значит, что столбцы матрицы A
линейно зависимы, т.е. существуют числа
не все равные нулю и такие, что
(*). По условию система 1 совместна, т.е.
существуют решения (
)
системы (1)
(**).
(*)+(**)=
,т.е.
-
решение системы (1).
б)
Пусть r
=n
(значит
),
докажем, что сумма (1) – определена.
Пусть
решений два, тогда
,
,хотя
бы одно
,
тогда
,но
так как ранг матрицы А равен n
,то все столбцы матрицы А линейно
независимы, значит линейная комбинация
этих столбцов = 0, только когда все
коэффициенты = 0, т.е.
,
…
-
противоречие => 1 решение.(ч.т.д.)
Замечание:
Неопределённая
сумма имеет б. много решений, т.к. из
(*) и (**)следует, что
,
где k=0,1,-1,2,-2,…
- является решениями.
№15-16-----------------------------------------------------------------------