![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
Пусть
,
,
-
какие либо три вектора;
-
смешанное произведение векторов
,
,
.
Следующая теорема позволяет выяснить
геометрический смысл смешанного
произведения.
Теорема1:
Пусть
,
,
- три некомпланарных вектора.
Отложим
их от одной точки О. И построим на этих
векторах параллелепипед.
объему построенного параллелепипеда
с + или – в зависимости от того какой
является тройка векторов: правой(+) или
левой(-).
Отложим
от точки О
.
,
где S
– площадь параллелограмма.
,
где h
– высота параллелепипеда,
,
,
- правая тройка значит +, левая значит
- .
(ч.т.д.)
Теорема
2: Для
того чтобы три вектора
,
,
были
компланарны( линейно зависимы) необходимо
и достаточно чтобы
(1)
Доказательство: Пусть , , –компланарны, Если бы эти векторы были не компланарны, тогда на этих векторах можно построить параллелипипед. Объём которого равен V=а,b*c0- а это противоречит (1). Получили противоречие , , –компланарны.(ч.т.д.)
Из
теорем 1 и 2 следует что
т.к. модули и левой и правой частей равны
объему одного и того же параллелепипеда
и тройки
,
векторов
имеют одинаковую ориентацию. Поэтому
в дальнейшем смешанное произведение
будем обозначать просто
.
Смешанное произведение меняет знак
при перестановке двух сомножителей
нечетное число раз, т.к. каждая перестановка
двух сомножителей меняет ориентацию
тройки векторов.
№29---------------------------------------------------------------------------
Выражение смешанного произведения трёх векторов через координаты перемножаемых векторовому в дальнейшем смешанное произведение будем обозначать просто евой(-).
Теорема
3: Смешанное
произведение векторов
выражается через их координаты
,
,
в произвольном базисе
следующей формулой:
Доказательство:
(ч.т.д.)
Если
базис
правый ортонормированный то
и тогда
Необходимое
и достаточное условие компланарности
(линейной зависимости) трех векторов
можно теперь записать в координатном
виде
Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
Двойным
векторным произведением называется
произведение
.
Можно доказать что для любых трех векторов , ,
№30---------------------------------------------------------------------------
Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности (неизменности) порядка.
Определение1:
Алгебраической
поверхностью называется множество
точек, которое в какой-нибудь ДСК может
быть задано уравнением вида
;
- неотрицательные целые числа. Наибольшее
из этих чисел называется степенью
уравнения или порядком поверхности.
Определение2:
Алгебраической
линией на плоскости называется множество
точек которое в какой-нибудь ДСК на
плоскости может быть определено
уравнением
;
называются степенью уравнения или
порядком линии.
Теорема об инвариантности( неизменности) порядка:
1. Если поверхность в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (1) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим ту же степень.
2. Если линия на плоскости в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (2) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим туже степень.
Доказательство:
Обе теоремы доказываются одинаково.
Докажем теорему 2. С этой целью перейдем
от ДСК о которой речь шла в определении
к произвольной новой ДСК. Новые координаты
.
Чтобы получить новое уравнение линии
нужно x
и y
подставить в (2)
.
Ясно что
при этом превратится в многочлен в
степени (k+e).
Степень суммы многочленов не превышает
степени старшего члена( степень могла
бы понизиться если бы члены с наибольшей
степенью взаимно уничтожились). Таким
образом мы доказали пока что алгебраическая
линия в любой ДСК имеет уравнение вида
(2) причем степень уравнения при переходе
от одной ДСК к другой не может повыситься.
Остается доказать что она не может и
понизиться и должна оставаться
постоянной. Предположим противное, что
при переходе от одной СК к другой степень
понизилась, тогда при обратном переходе
она должна повыситься что невозможно.(ч.т.д.)
№31---------------------------------------------------------------------------
Доказать, что в о.д.с.к. на плоскости(в пространстве) каждая прямая линия(плоскость) может быть задана линейным уравнением; обратно : каждое линейное уравнение в о.д.с.к. на плоскости(в пространстве) определяет прямую линию(плоскость).
Уравнения
первой степени или линейные уравнения
связывающие координаты точки в
пространстве имеют вид
.
Аналогично на плоскости
.
Теорема1: В общей ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно каждое линейное уравнение (1) в ОДСК определяет плоскость.
Теорема2: В ОДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана уравнением(2). Обратно каждое линейное уравнение (2) в ОДСК на плоскости определяет прямую линию.
Доказательство:
Обе теоремы
доказываются одинаково. Докажем теорему
1. Пусть задана некоторая плоскость.
Систему координат выберем так: точка
О и два базисных вектора
поместим в плоскость, а вектор
выполним произвольно. В такой СК наша
плоскость будет иметь линейное уравнение
Z=0.
В силу теоремы об инвариантности наша
плоскость будет иметь линейное уравнение
и в любой другой ДСК.
Обратно
пусть мы имеем ОДСК и линейное
уравнение(1). Докажем что это линейное
уравнение определяет плоскость. Перейдем
к другой ДСК. Для определенности пусть
С≠0. Сделаем замену переменных:
.
Покажем что эта система равенств
определяет переход к новой системе
координат( выражает связь между старыми
и новыми координатами точки).
.
Переход
к новой СК:
Новое
начало СК в старой системе
. Уравнение плоскости будет иметь
уравнение(т.е. уравнение (1) переходит
в новой СК в уравнение) Z’=0.
Значит и уравнение(1) определяет
плоскость. (ч.т.д.)
Уравнение (1) и (2) называются общими уравнениями плоскости и прямой на плоскости соответственно.
№32---------дописать-----------------------------------------------------