![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
Рассмотрим
на плоскости прямую заданную
параметрическими уравнениями
.
а1
и а2
– координаты направляющего вектора.
прямая не параллельна оси ОУ.
-уравнение
прямой решенное относительно ординаты.
Его можно получить решая уравнение
относительно
у.
Определение
: отношение
координат направляющего вектора
называется
угловым
коэффициентом
прямой.
Таким
образом справедливо утверждение: Если
прямая не параллельна оси ОУ(
)
то ее уравнение может быть записано в
виде (4), где k
– угловой коэффициент, а b
– ордината пересечения прямой с осью
ОУ.
Если
ПДСК
то
из рисунка видно что
Угол считается от оси абсцисс в
направлении кратчайшего поворота от
оси абсцисс к оси ординат.
Теорема:
Если прямая
параллельна оси ОУ(
),
то её уравнение имеет вид x=x0,
где x0
– точка пересечения прямой с осью Ох.
Доказательство:
Из (6) имеем
(ч.т.д.)
Исключим
теперь параметр t
из параметрических уравнений в
пространстве.
- координаты направляющего вектора
прямой. Предположим сначала что все
координаты направляющего вектора
отличны от нуля, тогда
т.е.
Замечание: Прямая в пространстве всегда может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Значит она и должна задаваться системой из двух уравнений.
Пусть
одна из координат равна 0. Пусть для
определенности
,
тогда уравнения (5) будут иметь вид
.
Пусть
и
тогда
.
В этом случае прямая параллельна одной
из координатных осей. В данном случае
Oz.
Как
правило пишут уравнение произвольной
прямой в виде (2), уславливаясь считать
что если равен 0 знаменатель, то числитель
равен 0. Уравнения (2) называются
каноническими уравнениями прямой.
- направляющий вектор прямой.
№35---------------------------------------------------------------------------
Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
Точка
М будет принадлежать плоскости тогда
и только тогда когда
или
.
Уравнение (3) имеет место и для ОДСК.
Уравнение (3) называется векторным
уравнением плоскости.
Если
и
направляющие вектора плоскости, тогда
в качестве нормального вектора плоскости
можно взять
,
тогда (3) перепишем в виде
.
Уравнение (3’) в координатyой
форме только для ДПСК имеет вид А(х-х0)+
В(у-у0)+
С(z-z0)=0
(3’’).
Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М0 (х0 у0 z0) заданному вектору (А,В,С)
В
екторные
уравнения прямой линии в пространстве.
Точка М
принадлежит прямой тогда и только тогда
когда
,
т.е.
Посмотрим
теперь как связаны между собой два
общих уравнения определяющих одну и
ту же прямую линию или плоскость в ДПСК.
Пусть для определенности даны два
уравнения плоскости П:
(4). Векторы
-
являются нормальными векторами в одной
и той же плоскости. Значит
.
Умножим обе части (4) второго уравнения
на t
и вычтем из первого. Получим
.
Следовательно коэффициенты общих
уравнений определяющих одну и туже
прямую или плоскость пропорциональны.
Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.
№36---------------------------------------------------------------------------