- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Теорема о существовании обратной матрицы.
Определение: Если матрица называется невырожденной (неособенной). Если |A|=0 то матрица называется вырожденной (особенной).
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу А. Из алгебраических дополнений элементов этой матрицы составим матрицу и транспонируем её. Получим матрицу С: матрица С называется присоединенной по отношению к матрице А. Вычислив произведение А*С и В*С получим Следовательно , таким образом если .
Таким образом из неособенности матрицы А следует существование А-1. С другой стороны если А имеет А-1 то матричное уравнение АХ=Е разрешимо. Следовательно и . Объединяя полученные результаты получим утверждение:
Теорема: У квадратной матрицы над полем Р существует обратная тогда и только тогда когда она не особенная. Если обратная матрица существует то она находится по формуле: , где С присоединенная матрица.
Замечание:
№10---------------------------------------------------------------------------
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Определение: Минором k-того порядка матрицы А называется определитель k-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов.
Определение: Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличный от 0 миноров этой матрицы. Обозначается r(A). Ясно 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом если r(A)=r то среди миноров матрицы А есть минор r-го порядка отличны от 0, а все миноры r+1 порядка и выше равны 0.
Определение: Всякий отличный от 0 минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором этой матрицы. Ясно что матрица может иметь несколько базовых миноров. Столбцы и строки которые образуют базовые миноры называются базисными.
Теорема: В производной матрице А=(аi)m,n каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов в которых расположен базисный минор(то же самое о строках).
Доказательство: Пусть r(A)=r. Выберем из матрицы один базисный минор. Для простоты предположим, что базовый минор расположен в левом верхнем углу матрицы, т.е. на первых r строках и первых r столбцах. Тогда базовый минор Mr будет иметь вид: . Нам нужно доказать что всякий столбец матрицы А является линейной комбинацией первых r столбцов этой матрицы, в которых расположен базисный минор, т.е. надо доказать что существуют числа λj такие, что для любого k-того столбца матрицы А имеет место равенство: где … .
Припишем к базисному минору какие-нибудь k-тый столбец и s-тую строку: т.к. если добавленная строка или
столбец входят в число базисных то определитель , как определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами). Если добавлена строка(столбец) то согласно определению ранга матрицы. Разложим определитель по элементам нижней строки, получим: отсюда получаем: где λ1… λr не зависят от номера S, т.к. А Sj не зависят от элементов добавленной S-той строки. Равенство (1) и есть нужное нам равенство.(ч.т.д.)
Следствие: Если А квадратная матрица, а определитель A =0 ,то один из столбцов матрицы есть линейная комбинация оставшихся столбцов, а так же одна из строк является линейная комбинация оставшихся строк.
Доказательство: Если определитель матрицы A =0, то ранг этой матрицы <=n-1, n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
Для того чтобы [A] =0 необходимо и достаточно чтобы по крайней мере одна строка (столбец) являлись линейной комбинацией остальных её строк (столбцов).
№11---------------------------------------------------------------------------