- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Операция транспонирования матрицы и её свойства.
Определение: Матрица А’ получающаяся из матрицы А путем замены строк столбцами называется транспонированной по отношению к матрице А.
Справедливы следующие правила транспонирования матриц:
(αА+αВ)’=αA’ + αB’
(AB)’=B’A’
Идея доказательства показать что матрицы (AB)’ и B’A’ имеют одинаковую размерность и у них равны соответствующие элементы.
Определение: Если А – произвольная квадратная матрица и A=A’ (-A=A’), то матрица А называется симметрической или кососимметрической
№4----------------------------------------------------------------------------
Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)
Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А-1
А А-1= А-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А-1 обратной будет (А-1)-1=А
Теорема: У каждой обратимой матрицы существует единственное обращение.
Доказательство: Предположим что у матрицы А существует наряду с Х еще одна обратная матрица У, т.е. АУ=Е. Тогда
(ХА)У=ЕУ=У ┐
Х(АУ)=ХЕ=Х ┘Следовательно Х=У. Т.е. у матрицы А существует единственное обращение.(ч.т.д.)
№5----------------------------------------------------------------------------
Определение обратной матрицы. Доказать что (АВС)-1=С-1В-1А-1.
Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)
Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А-1
А А-1= А-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А-1 обратной будет (А-1)-1=А (3)
Теорема: Если квадратные матрицы А, В, С одного и того же порядка обратимы, то их произведение тоже обратимо и (АВС)-1=С-1В-1А-1.
Доказательство: А(В(СС-1)В-1)А-1=Е и С-1(В-1(А-1А)В)С=Е (ч.т.д.)
Для любого натурального m по определению Аm=А*А*…*А – m-раз.
По определению А0=Е.
Определение: Для каждой обратимой матрицы А, А-2=А-1*А-1; А-3= А-1*А-1*А-1 (4)
Из (3) и (4) следует что для каждой обратимой матрицы А и любых целых чисел р и q имеют место обычные правила действия со степенями:
АрАq =Ар+ q
(АВ)р=АрВр если АВ=ВА
(Ар)q=Ар*q
№6----------------------------------------------------------------------------
Матрица,обратная к данной матрице. Доказать что в результате транспонирования обратимой матрицы получается снова обратимая матрица и (A’)-1=(A-1)’.
Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)
Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А-1
А А-1= А-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А-1 обратной будет (А-1)-1=А
Теорема: В результате транспонирования обратимой матрицы А получается снова обратимая матрица и (A’)-1=(A-1)’.
Доказательство: Применим правила транспонирования к соотношению АХ=ХА=Е:
(АХ)’=(ХА)’=Е’
А’Х’=Х’А’=Е
Из определения обратной матрицы следует что (A’)-1= Х’=(A-1)’(ч.т.д.)
№7----------------------------------------------------------------------------