- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
Прямоугольную матрицу А можно вертикальными и горизонтальными линиями разбить на прямоугольные клетки(блоки). В частности матрица может быть разбита только горизонтальными или только вертикальными линиями. (Аα,β)s,t – блочная матрица. Рассмотрим две матрицы А и В одинаковой размерности и с одинаковым разбиением на блоки. Соответствующие блоки Аα,β и Вα,β имеют одинаковую размерность mα x n β , α=1..s, β=1..t. Тогда в соответствии с правилом сложения матриц операция сложения блочных матриц одинаковых размеров с одинаковым разбиением на блоки, производится точно также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.
Чтобы распространить правило умножения матриц на блочные матрицы необходимо чтобы все горизонтальные размеры блоков первой матрицы совпали с соответствующими размерами второго сомножителя. Число столбцов блока Аα,β равно числу строк блока Вβ,с .
b изменяется от 1 до t, с изменяется от 1 до u. Таким образом возможно умножение матриц А и В формально также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.
Определение: Квадратная матрица у которой все элементы расположенные под(над) главной диагональю равны 0 называется верхней(нижней) треугольной матрицей. Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц.
Определение: Блочная матрица А называется верхней(нижней) квазитреугольной матрицей если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, и все не диагональные блоки расположенные под(над) диагональными блоками нулевые матрицы.
Определение: Блочная матрица А называется квазидиагональной если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, а все недиагональные блоки – нулевые матрицы.
Теорема: Определитель квазитреугольной матрицы связан с определителем диагональных матриц следующим соотношением:
(♀) где П – произведение.
Доказательство: Рассмотрим сначала квазитреугольную матрицу где А12=0, , ,
По определению
Т.к. А12=0 то из всех произведений могут быть ≠0 только те в которых индексы . Вследствие этого остальные индексы могут принимать значения только из множества . В этих условиях число инверсий в перестановке равно:
т.е.
Учитывая это находим, что
Отсюда следует что
Рассматривая в общем случае квазитреугольную матрицу
Как матрицу где согласно (*) будем иметь . Матрица снова квазитреугольная. Проделав над ней туже операцию, получим . После (р-1) таких шагов придем к (♀).
Аналогично доказывается равенство (♀) применительно к верхней квазитреугольной матрице.(ч.т.д.)
№8----------------------------------------------------------------------------Теорема об определителе произведения матриц.
Теорема:
Доказательство: Пусть заданы квадратные матрицы порядка n. и . На основании теоремы об определителе квазитреугольной матрицы ( ) имеем: порядок данной матрицы 2n. Не изменяя определителя, над матрицей порядка 2n выполним последовательно следующие преобразования: к первой строке прибавим . В результате такого преобразования на первых n позициях первой строки будут все 0, а на вторых(во втором блоке) – будет стоять сумма произведений первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В. Проделав те же самые преобразования с 2 … n строками получим следующее равенство:
Чтобы привести правый определитель к квазитреугольному виду поменяем в нем местами 1 и 1+ n столбцы, 2 и 2+ n … n и 2 n столбцы. В результате получим равенство:
Замечание: Ясно что теорема справедлива для любого конечного числа матриц. В частности .
№9----------------------------------------------------------------------------