Вопрос № 40. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Пусть {Ω, ϭ, В} – вероятностное пространство

Х: Ω->R

x=X (ὠ), где ὠ℮Ω

х – случайная величина, функция случайного элемента

В зависимости от ὠ множество значений случайной величины может быть конечным, счетным или континуальным. В первых двух случаях случайную величину называют дискретной

х=хi, эта запись означает – {ὠ| x (ὠ) = xi}℮ϭ P(X=xi)=P({ὠ|x(ὠ)=xi})

Если задан некоторый закон, сопоставляющий каждому значению случайной величины его Р, то говорят, что задан закон распределения случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

Пусть х задано рядом распределения

Х|x1 x2 x3 … xi … xn

|p1 p2 p3 … pi … pn

Математическое ожидание случайной величины

Е(х)=М(х)

E(x) =

Математическое ожидание не обязано совпадать со значением случайной величины Дисперсией случайной величины D(X) - математическое ожидание случайной величины, мера отклонения значения случайной величины от среднего значения

D(x) = E (X-E(x))²

D(x) =

Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда Р{ξ=х}=0 при всех х

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Диаметр изготавливаемой детали на станке- непрерывная случайная величина, т.к. возможны отклонения из-за возникающих погрешностей ввиду температурных изменений, силы трения, неоднородности материала и т.д., а диаметр может принять любое значение из промежутка