Вопрос № 36. Свойства вероятностей (сумма вероятностей противоположных событий, вероятность частного случай, теорема сложения - все с доказательствами)

Сумма событий А и В есть не что иное как обьединение соответсвующих множеств

A+B= A нижн.пересеч.В

По определению сумма событий-это событие,состоящее в том,что произошло событие А или событие В.

Событию А+В соответствует множество элементарных исходов,принадлеж.множеству А или множеству В те именно обьединение этих множеств.

Произведение событий есть пересечение соответствующих множеств

АВ=А∩В.

События несовместны если пересечение соответствующих множеств пусто.

Вероятность противоположного события вместе с вероятностью исходного события равна 1

Р(А)+Р(Ā)=1

Доказательство:

Ω=А+Ā

А*Ā=Ø

Р(А+Ā)=Р(Ω)=1 => 1=Р(А)+Р(Ā)

Если событие А является частным случаем события В, то вероятность А НЕ превосходит вероятность В.

В=А+(В-А)

А*(В-А) – невозможно, эти два события несовместны, но по третьей аксиоме (для любых несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей) Р(В)=Р(А+(В-А))=Р(А)+Р(В-А)

В-А=В*Ā

Тогда по второй аксиоме (для любого события А верно, что вероятность А неотрицательна) Р(В-А)≥0 (как и у любого из алгебры событий)

Р(А)<Р(В)

Теорема Сложения.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

P.S.Если А*В=Ø, то Р(А*В)=0, получаем третью аксиому (частный случай)

Доказательство:

А+В=(А-В)+(В-А)+А*В

А и В-А несовместны

А*(В-А)=Ø – невозможное событие

(Р(А+В) = Р(А)+Р(В-А)) – (Р(В)=Р(В-А)+Р(А*В)) = (Р(А)=Р(А)-Р(А*В))

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Вопрос № 37. Условная вероятность. Теорема умножения. Определение независимости

двух событий. Независимость в совокупности. Формулировка теоремы умножения в этом случае.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

P(А│В).

P(А│В)= р(АВ)/ р(В)

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого.

Теорема умножения.

Вероятность произведения событий определяется формулой Р(А₁,А₂,….А_n)= Р(А₁)Р(А_2/ А₁) …Р(А_n/ А₁ А_2… А_n-1)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

Р(АВ)=Р(А/В)Р{B)=Р(В/А)Р{А)

Если одно событие не зависит от другого, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого, то последнее также не зависит от первого. Это дает полное основания называть такие события независимыми. Математически независимость означает, что условная вероятность некоторого события совпадает с его вероятностью (безусловной вероятностью).

1.Говорят что событие А не зависит от события В если

P(А│В)=Р(А)

Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А.

2.Если события А и В независимы то Р(АВ)=Р(А)Р(В)-это равенство используется для определения независимых событий.

Следует различать попарную независимость событий и независимость в совокупности.

События А1,А2,….Аn называются независимыми в совокупности если они попарно независимы и каждое из них не зависит от произведения любого набора из остальных событий.

Если события А1,А2,….Аn независимы в совокупности то

Р(А₁,А₂,….А_n)=Р(А₁)Р(А₂)…Р(А_n).

Вопрос № 38. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Априорная и апостериорная вероятности гипотез. Примеры.

В каждой группе какое-либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.

Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них, и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

Два противоположных события составляют полную группу.

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Формула полной вероятности

(где А – некоторое событие, Н1, Н2 … Hi – попарно несовместимы, образубт полную группу, причем А может произойти вместе с H1, H2 Hi)

P(A)=P(A|H₁) P(H₁)+P(A|H₂)P(H₂)+P(A|H₃)P(H₃)+…+P(A|H_n)P(H_n)

P(A)=

Формула Байеса

Р(Нi |A)=

Замечание. События Нi называют гипотезами вероятности, р(Нi) – априорными вероятностями гипотез Нi, а вероятности Р(Нi/А) – апостериорными вероятностями гипотез Нi

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах,

а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся,

Н2 – первый промахнулся, а второй попал,

Н3 – оба попали,

Н4 – оба промахнулись.

Вероятности гипотез:

р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18,

р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28,

р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42,

р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.

Тогда р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,

р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0.

Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами.

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:

где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (P(A)= ) носит название формулы полной вероятности

Вопрос № 39. Схема Бернулли. Вероятность m успехов в серии из n испытаний

(вывод формулы вероятности двух успехов в серии из трех испытаний).

Примеры

Pn(m) – вероятность ровно m успехов в серии из n испытаний

Рассмотрим вероятность ровно 2 удач в серии из 3 испытаний

Р₃(2) = Р(В_2,3), где В_2,3 – события, означающие ровно 2 удачи в серии из испытаний, проводимых по схеме Бернулли (т.е. одинаковые и независимые)

В_2,3 = А₁*А₂*Ā₃ + А₁*Ā₂*А₃ + Ā₁*А₂*А₃

Число слагаемых равно числу способов из 3х испытаний выбрать 2 удачных т.е. С₃²

Р₃(2) = Р(В_2,3) = Р (А₁*А₂*Ā₃ + А₁*Ā₂*А₃ + Ā₁*А₂*А₃) = (по третьей аксиоме) =Р (А₁*А₂*Ā₃)+Р(А₁*Ā₂*А₃) +Р(Ā₁*А₂*А₃) =[слагаемые – несовместные события]= Р (А₁)Р(А₂)Р(Ā₃)+Р(А₁)Р(Ā₂)Р(А₃) +Р(Ā₁)Р(А₂)Р(А₃) = р*р*q+p*q*p+q*p*p=3 q= С₃²*p²*q^3-2

Аналогично

Р_n(m) = С_n^m*p^m*q^n-m основная формула

1.В урне 4 белых и 6 черных шаров. Наугад вынимают шар и возвращают обратно. Испытание успешно если наугад вынули белый шар. В этом случае p=0,4(4 белых шара из 10)