Вопрос № 19. Модуль и аргумент комплексного числа . Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме. Вывод формулы для произведения

Число называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной.

Угол такой, что: и , называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число. Из определения следует, что .

Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Получается

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Умножение компл.чисел:

Пусть Z1 и Z2, Z1=(a1;b1), Z2=(a2;b2)

Z=z1∙z2⇒ { a=a1∙a2-b1∙b2

b=a1∙b2+a2∙b1

Билет №20. Возведение в степень с натуральным показателем комплексного числа в тригонометрической форме. Вывод формулы Муавра. Показательная форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в натуральную степень чисел в показательной форме.

Формула Муавра для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме — формула

для любого

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел.

где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Билет №21. Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме. Вывод формулы для нахождения корней степени n из единицы. Их расположение на комплексной плоскости.

Число корней равно показателю степени.

Z1 = n√Z ↔ Z = Z1n

Корнем n-й степени (n ∊ N, n ≥ 2) из числа z называется любое комплексное число u, для которого un = z . Операция нахождения всех корней n-й степени из числа z называется извлечением корня. Для нахождения всех корней n-й степени существует следующая формула:

Формула для нахождения корней степени n из единицы

n√1={zk | zk= здесь та же формула, что и наверху (то, что в скобках), только без φ

Вопрос № 22. Определение матрицы размерности . Основные виды матриц. Примеры.

Равенство матриц. Операция транспонирования.

Матрица размерности - это прямоуг.таблица,сост.из m-строк и n-столбцов

Основные виды матриц:

- квадратная

- коммутирующая (АВ=ВА)

- нулевая

- единичная

- нормальная

- ортогональная

- перестановочная

…(всего их где-то 27)

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Вопрос № 23. Линейные (сложение и умножение на число) операции с матрицами Свойства

этих операций.

⊐ А и В – матрицы одинаковой размерности. Их суммой будет матрица той же размерности, эл-ты к-ой равны суммам эл-ов, стоящ.на соотв.местах

Аm+n Bm+n

Cm+n= (Аm+n+ Bm+n) ⟷ (Cij=aij+bij)

A+B = + =

Св-ва сложений:

1. А+В = В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. Существование нуля

⊐ 0: А+0=А

0 – нулевая матрица той же размерности, что и А. Матрица наз.нулевой, если все её эл-ты равны 0

Оm*n =

4. Существование противоположной матрицы

∃В: А+В = 0

В= = - A

Умножение числа на матрицу

k∊R (k∊C)

Произведением числа на матрицу будет матрица той же размерности, все элементы к-ой равны произв.k на соотв.эл-ты исходной матрицы.

(В=kA)⟷( = k∙aij; i=1…m; j=1…n)

2∙ =

i ∙ =

Св-ва умножения:

1. kA=Ak

2. k(lA) = (kl)A = l(kA)

3. k(A+B) = kA+kB

4. (k+l)A = kA + lA

3∙