Вопрос №16. Определение операций сложения комплексных чисел, умножения комплексных чисел. Свойства этих операций (только формулировки). Вычисление квадрата мнимой единицы

Операции сложения и умножения комплексых чисел осущ. Так,как если бы мнимая единица I была переменной(а комплексные числа-многочленами от этой переменной),при этом i²= -1

Суммой комплексных чисел a+bi и c+di наз. комплексное число(a+c)+(b+d)i.Таким образом,при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Св-ва.

Коммуникативность.z₁+z₂=z₂+z

Ассоциативность.( z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

Произведением комплексных чисел a+bi и c+di наз. комплексное число:(ac-bd)+(ad+bc)i.Это определение вытекает из 2-ух требований:1)числа a+bi и с+di должны перемножаться,как алгебраические двучлены,2)число i обладает основным св-вом i²= -1

Коммуникативность.z₁*z₂=z₂*z₁

Ассоциативность.(z₁*z₂)*z₃=z₁*(z₂*z₃)

*Дистрибутивность.(z₁+z₂)z₃=z₁z₂+z₂z₃

Мнимая единица- число,квадрат кот. равен -1(i²= -1)

Вопрос №17. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, умножение, деление, возведение в натуральную степень). Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Запись комплексного числа z в виде x+iy, y R наз. алгебраической формой комплексного числа

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и преводя подобные, чтобы представить рез-т тоже в стандартной форме(учесть, что i=-1):

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);

(a+ib)*(c+id)=ac+iad+ibc+i²bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc)

Операции

1)z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2)z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,

z₁=z₂<=>a=c,b=d,

z₁*z₂=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

z₁/z₂=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)/c²+d²)i,

i^4k=1, i^4k+1=i, i^4k+2=-1,i^4k+3=-i,k

Если дискриминант отрицательный,то решением квадратного ур-ия являются два комплексных числа,действительных корней нет.

Вопрос № 18. Комплексная плоскость. Вещественная и мнимая оси. Модуль и аргумент

комплексного числа. Их геометрический смысл.

Комплексной плоскостью в математике называется множество упорядоченных пар (x,y), где .

Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут вещественная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться вещественной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются вещественные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

Число называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

, причём | z | = 0 тогда и только тогда, когда z = 0;

(неравенство треугольника);

,  — эти три свойства вводят на комплексных числах структуру двумерного нормированного пространства над полем ;

Угол такой, что: и , называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число. Из определения следует, что .