Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
kollokvium (1).docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
14.07.2019
Размер:
873.67 Кб
Скачать
  1. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Доказательство: При справедливы неравенства .

Разделив все части этого неравенства на > 0, получим или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

А раз и , то .

Второй замечательный предел:

.

Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых

приведем таблицу значений этой функции:

1/2

1/3

1/4

0.01

0.001

2.25

2.37…

2.44…

2.7047…

2.7169…


Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство:

. Рассмотрим два случая:

1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.

Отсюда следует:

  , поэтому

.

Если  , то  . Поэтому, согласно пределу

  , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что     для вещественного x.

  1. Эквивалентные функции. Символика о и о

Определение: функция называется бесконечно малой при , если

= 0.

функция называется бесконечно большой при , если

= .

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

Доказательства:

( ). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

( ). ., .

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

= * * = .

  1. Классификация разрывов

Определение: Точка а называется точкой устранимого разрыва функции y = f{x} , если предельное значение функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) или не определена, или ее частное значение f(a) в точке а не равно предельному значению.

Определение: Точка а называется точкой разрыва 1-ого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения.

Определение: Точка а называется точкой разрыва 1-ого рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.

  1. Первая теорема Вейерштрасса

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> - подпоследовательность последовательности :

.

- непрерывна в точке => .

- подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]