1. Действительные числа. Числовые множества Действия с действительными числами

I₁. Коммутативность сложения. Для любых 

a + b = b + a

I₂. Ассоциативность сложения. Для любых 

a + (b + c) = (a + b) + c

I₃. Существование нуля. Существует элемент  , называемый нулём, такой, что для любого 

a + 0 = a

I₄. Существование противоположного элемента. Для любого   существует элемент  , называемый противоположным к a, такой, что

a + ( − a) = 0

I₅. Коммутативность умножения. Для любых 

I₆. Ассоциативность умножения. Для любых 

I₇. Существование единицы. Существует элемент  , называемый единицей, такой, что для любого 

I₈. Существование обратного элемента. Для любого   существует элемент  , обозначаемый также 1 / a и называемый обратным к a, такой, что

I₉. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых 

I₁₀. Нетривиальность поля. Единица и ноль — различные элементы  :

Между элементами   определено отношение  , то есть для любой упорядоченной пары элементов a, b из   установлено, выполняется соотношение   или нет. При этом имеют место следующие свойства.

II₁. Рефлексивность. Для любого 

II₂. Антисимметричность. Для любых 

II₃. Транзитивность. Для любых 

II₄. Линейная упорядоченность. Для любых 

II₅. Связь сложения и порядка. Для любых 

II₆.Связь умножения и порядка. Для любых 

Множества

1. [a, b] – сегмент

2. (a, b] – полусегмент

3. (a, b) – интервал

4. Любой интервал содержащий точку с, будем называть окрестностью точки с

5. Интервал (с – ε, с + ε), где ε > 0, будем называть ε – окрестностью точки с

6. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-∞, +∞)

7. [a, +∞) и (-∞, b] – полупрямая

8. (a, +∞) и (-∞, b) – открытая полупрямая

2. Ограниченные и неограниченные множества

Определение: Множество Х вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент множества удовлетворяет неравенству: x ≤ M (x ≥ m)

При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества Х

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества Х называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом = sup {X}

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества Х называется точно нижней гранью этого множества и обозначается символом = inf {X}

3. Точные грани числовых множеств

Точной верхней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

> - . ( > - )

Точной нижней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+ . ( + )

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).

П усть , , и , , причем и : . Тогда

: и .

, , ограничено сверху.

, .

, и , .

и

1)

2) > -

Предположим противное:

: .

- ,

. Получили противоречие.

Аналогично для = .

Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ( ).

Введем следующие условия:

1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

Доказательство:

Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множества будет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из ) и (из ).

Покажем, что = . По определению , для всех чисел из множества будет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число ( >0), что для всех чисел из множества будет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множества будет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.