4. Числовые последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение: Если каждому числу n натурального ряда ряда чисел 1, 2, … , n, … становится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных вещественных чисел мы будем называть числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если ( m)

Определение: Неограниченной последовательностью называется последовательность, которая не является ограниченной.

.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

Определение: бесконечно большая последовательность если . .

5. Свойства бесконечно малых последовательностей.

Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

Бесконечно малая последовательность ограничена

Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу С, то С=0

Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность (1/ ), которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность (1/ ), бесконечно большая.

6. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

< . < .

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.