Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
kollokvium (1).docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
14.07.2019
Размер:
873.67 Кб
Скачать
  1. Число e

Сложно доказать, что функция при имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула, определяющая число по традиции называется второй замечательный предел. . Также число -основание натуральных логарифмов.

Рассмотрим .

Докажем, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху:

1. Ограниченность.

-биноминальный коэффициент

.

+

<

2. Монотонность.

+ .

.

По теореме о монотонности последовательности - сходится.

  1. Принцип вложенных отрезков.

Пусть = , =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .

Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть .

.

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

  1. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение: Пусть дана некая последовательность . Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чилел Выберем из последовательности { }, элементы с номерами и расположим их в таком же порядке как : получим ( ) - подпоследовательность последовательности .

Определение: Если , то - частичный предел последовательности .

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть ,

тогда .

Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом: .

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку X. В таком случае из это последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке X.

Точка X называется предельной точкой последовательности { }, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к X.

  1. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только

тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие

необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).Пусть .

Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим ,

тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная

.

Возьмем , , тогда

.

Обозначим .

.

ограничена.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]