27. Вторая теорема Вейерштрасса

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .

(< )- верхняя граница. , то есть .

Противоречие.