1.5 Якість контролю

Термін «якість контролю» застосуємо у двох різних значеннях. Можна говорити або про якість окремого результату процедури контролю, або про якість методики (алгоритму або системи) контролю в цілому. Розглянемо його друге значення із загальних позицій наукового пізнання.

Досліджуючи предмети і явища матеріального світу, людина прагне виявити в них властивості, здатні задовольнити його певні потреби. До розкриття цих якостей він наближається поступово, вивчаючи об'єкт пізнання під тим або іншим кутом зору. Методики контролю (для конкретності будемо говорити надалі тільки про алгоритми контролю), також можуть бути об'єктами пізнання, однак на відміну від об'єктів, створених природою, вони - утвору й рук людини. Вивчення таких об'єктів ведеться під одним кутом зору - наскільки повно вони відповідають планованому призначенню.

Властивість будь-якого досліджуваного об'єкта (будь це предмет, система, процедура й т.п.) відповідати своєму призначенню називають його якістю. Залежно від конкретного призначення об'єкта (або прийнятого підходу до його дослідження) цю властивість описують різними показниками, іменованими критеріями якості.

Контроль установлює приналежність (або неприналежність) нормі контрольованого екземпляра. Останній кількісно описується реалізацією х контрольованого параметра, а норма – множиною його дозволених реалізацій. Таким чином, контроль може трактуватися як дослідне знаходження деякого функціонала r=Ф(х) з областю значень при , у противному випадку. Фактично ж алгоритмом контролю відшукується іншою функцією з тією же областю значень при , при , де - образ х, а - образ . Заміна оригіналів їхніми образами, викликана міркуваннями практичної реалізації або економічної доцільності контролю, приводить до його помилок і значить до зниження якості контролю.

У поняття «призначення» (ціль, задача) контролю може бути вкладений різний конкретний зміст. Залежно від того вибирається той або інший критерій якості. Якщо контроль ідеально справляється зі своєю задачею, його критерію якості приписується верхня границя обраної шкали оцінок. Через неминучі помилки контролю реальні значення критерію якості менше . Різниця

(1.22)

кількісно характеризує втрати якості.

Помилки контролю бувають двох видів: фіктивна тривога ( при ), помилкове благополуччя ( при ). Їх називають помилками відповідно 1-го й 2-го роду.

Методика побудови математичних моделей критеріїв якості найбільш пророблена для систем керування. Вона носить досить загальний характер і поширена на об'єкти пізнання, очевидно, будь-якої природи. Відповідно до цієї методики, чисельне значення втрат якості (надалі коротко -втрати якості) досліджуваного об'єкта (алгоритму контролю) слід розглядати як середній ризик – математичне очікування функції втрат l ( ), аргументи якого суть необхідний у дійсний у_* вихідні сигнали об'єкта. Стосовно до алгоритму контролю вихідними сигналами у и у_* служать величини й , так що

(1.23)

Усереднення ведеться по множині всіх можливих екземплярів контрольованих об'єктів.

Загальний принцип конструювання функції втрат - штраф за помилку. Її конкретний вид залежить від призначення контролю. Характерні два різних підходи до трактування цього призначення, умовно іменовані нижче змістовним і виробничим.

Змістовний підхід найбільше повно представлений у технічній літературі. Відповідно до його, призначення контролю – виділення з об'єкта згорнутої інформації, стислої до бінарного результату «0» або «1». Фактично воно ототожнюється із самим поняттям контролю, тобто з дослідним установленням істинності висловлення . Цьому призначенню відповідає функція втрат виду

(1.24)

Кожній помилці 1-го роду ставиться у відповідність штраф с₁ кожній помилці 2-го роду — штраф с₂, під час відсутності помилок штраф дорівнює нулю.

Середній ризик (1.22) легко виражається через імовірності помилок контролю. Позначимо через імовірність того, що результат контролю довільного, навмання взятого екземпляра контрольованого об'єкта виявиться вірним, а через й – імовірності того, що він виявиться помилкою відповідно 1-го або 2-го ріда:

(1.25)

Очевидно, функцію втрат (1.24) можна інтерпретувати як дискретну випадкову величину, що приймає значення , і з верогідностями р₀, р₁ і р₂ а середній ризик (1.5. 2) – як математичне очікування цієї величини.

Відповідно до визначення математичного очікування,

(1.26)

Таким чином, втрати якості контролю описуються лінійною комбінацією ймовірностей помилок 1-го й 2-го роду.

Випадкові події , , утворять повну групу, – і їхньої ймовірності (1.25) у сумі дають одиницю. Першу з них р_о приймають за міру довіри до контролю й називають його вірогідністю. Дві інші, р₁ і р₂ отримали спеціальні найменування – ризик виробника (постачальника) і ризик замовника (споживача). Цим підкреслюється, що виготовлювач і замовник як би є спільником у процесі контролю, маючи протилежні інтереси. Їхній ризики визначають частку помилкових відповідно негативних або позитивних рішень у загальній масі рішень, прийнятих при контролі. Протилежність їхніх інтересів дозволяє оптимізувати алгоритм контролю, підібравши його параметри такими, щоб втрати якості (1.5.5) були мінімальними.

Для ідеального контролю ризики виробника р₁ і замовника р₂ дорівнюють нулю, і вірогідність приймає значення «1». За аналогією з (1.22) різниця між достоверностями ідеального й реального контролю

(1.27)

може бути названа втратами вірогідності.

Штрафи й не можуть бути довільними. Більший з них залежить від обраної шкали оцінок якості. Так, якщо нулем оцінити якість контролю, що дає одні помилкові результати, більший штраф варто встановити рівним кількісній мері якості ідеального контролю mах (відповідно до (1.22)). На практиці зручніше надходити навпаки: призначити штрафи c₁ і с₂, а величину прийняти рівної максимальному з них [6].

Вищевикладене показує, що втрати якості й втрати вірогідності контролю описуються різними співвідношеннями [див. (1.26) і (1.27)]. І тільки у випадку однакової небажаності помилок 1-го й 2-го роду між ними є лінійна залежність .

Граничним є випадок небажаності помилки тільки одного роду. Втрати якості такого контролю пропорційні ризику однієї із зацікавлених сторін: (або ). Такий же вид мають втрати якості.і при одиничній вірогідності одного з результатів контролю (коли помилки або 1-го, або 2-го роду виключені).

Розглянуті кількісні показники (ризики виробника й замовника, втрати якості й вірогідності) характеризують контроль у середньому по сукупності всіх можливих контрольованих екземплярів. Зрозуміло, можна говорити про аналогічні показники й стосовно до контролю кожного конкретного екземпляра окремо.

Кожен конкретний екземпляр описується своєю реалізацією х, що несе певну кількісну інформацію. Позначимо її тим же символом х. У процесі контролю виявляється якась, у загальному випадку інша інформація х_* , (образ х). Геометрично вона інтерпретується деякою сукупністю точок (графіком, малюнком) і йменується надалі інформаційним малюнком результату.

З погляду контролю інформаційний рисунок виступає «повноважним» кількісним представником контрольованого екземпляра. На його основі формується конкретний результат контролю й (або) оцінюються його показники. Екземпляри, що мають той самий інформаційний рисунок, для контролю нерозрізнені (рівнозначні).

Виділимо який-небудь контрольований екземпляр. Нехай у процесі його контролю отримані інформаційний рисунок і вироблений результат . Позначимо через вірогідність контролю цього екземпляра (умовну ймовірність правильності результату), а через й – ризики виробника й замовника (умовні ймовірності помилок 1-го й 2-го роду; умова складається в знанні х* )

(1.28)

Знаходження залежностей – самостійна, досить складна задача й тут не розглядається. З'ясуємо лиш як связані дастоверности контролю й ризики виробника й замовника для окремого екземпляра (1.28) і сукупності в цілому (1.25).

Позначимо через множину всіх можливих інформаційних малюнків , характерних даному алгоритму контролю. Природа множини не обмовляється (нею може бути, наприклад, числовий відрізок, функціональна множина, множина послідовностей, множина відрізків і т.п.). Передбачається лише, що сукупність F; під множин множини утворить -алгебру b, отже, є вимірною.

Ту частину алгоритму контролю. яка виділяє інформаційний рисунок х, будемо інтерпретувати як комплекс умов, множина – як простір елементарних подій, а сукупність F — як поле подій, або як -алгебру подій. Тоді як міра на поле F природно прийняти ймовірність Р{А} випадкової події А із цього поля.

Розіб’єм множину на дві непересічні підмножини, одне йз яких N_* відповідає тільки позитивним ( ), а інше \ N_* – тільки негативним ( ) результатам. Імовірності (1.28) є речовинними позитивними функціями, певними на просторі елементарних подій і можуть інтерпретуватися як випадкові величини. Очевидно, математичні очікування цих величин і будуть шуканими значеннями (1.25). Вони виражаються через (1.28) у формі абстрактного інтеграла Лебега:

(1.29)

Другий знак рівності у двох останніх співвідношеннях треба з того, що при ; при при .

З (1.26) і (1.29) випливає розгорнута (виражена через «ризики» для окремих результатів) запис втрат якості контролю

(1.30)

Виробничий підхід підкоряє процедуру контролю конкретним виробничим потребам. Відповідно до однієї з розповсюджених концепцій, призначення контролю виробляється в забезпеченні якісної однорідності випускай продукції. Це формулювання варто розуміти так: контроль проводиться з метою випуску однорідної (тобто необхідної якості) продукції. Який же критерій якості логічний у цьому випадку?

Результуючою інформацією, вироблюваної при контролі, служить результат «так» чи «ні». Продукція, що випускає, відповідає позитивному результату . Він може бути як правильним, так і помилковим. Помилковий результат (помилка 2-го роду) штрафується. Таким чином, функція втрати приймає вид:

(1.31)

Відзначимо принципове розходження змістовного й виробничого підходів до оцінки якості контролю. Якщо для першого важливий сам факт (і тільки факт) помилки то для другого не байдуже, яка вона. Диференціацію помилок по їхній значимості дозволяє провести інформаційний рисунок результату х що й відбито в (1.5.10) залежністю від нього ціни помилки (штрафу) с(х_*).

Нехай й – умовні ризики замовника при контролі окремого екземпляра й сукупності в цілому; умова складається в позитивності результатів контролю. Трактуючи як випадкову величину, певну на просторі елементарних подій ; представимо її математичне очікування абстрактним інтегралом Лебега

(1.32)

Для найпростіших алгоритмів контролю ціна помилки не залежить від інформаційного малюнка: . Тоді втрати якості пропорційні умовному ризику замовника: . У загальному випадку

(1.33)

Між й [див. (1.32) і (1.33)] лінійної залежності немає.

Вірогідність контролю при виробничому підході оцінюється так само, як і при змістовному [див. верхню формулу (1.29)].

I так, якість контролю є його властивість бути придатним до використання по призначенню. Характерні два підходи до трактування цього призначення - змістовний і виробничий. Для першого з них призначення контролю - стиск інформації до бінарного результату «ні», для другого -- забезпечення якісної однорідності випускаємої продукції. Відповідно до цих підходів конструюється той або інший [формули (1.30) або (1.33)] критерії якості контролю. Ці критерії не тотожні вірогідності контролю й лише в окремих випадках пропорційні їй [14].

1.6 Якість окремого результату контролю

Як дослідна процедура контроль включає дві складові – методичну й технічну. Перша характеризується планом або алгоритмом контролю, друга – їх технічної (технічних) засобів і служить критерієм якості відповідних відмітних ознак тієї або іншої методики контролю. Будь-яка методика не універсальна й створюється для контролю фізичних об'єктів певного класу. Тут під об'єктом розуміється як матеріальний носій контрольованої реалізації фізичних властивостей, так і сама реалізація. Об'єкти, що ставляться до одного класу, утворять множину можливих контрольованих об'єктів.

Якість якої-небудь процедури, зокрема контролю, є властивість цієї процедури відповідати своєму призначенню. Як усяка властивість, вона несе в собі єдність якісної й кількісної вірогідностей (у філософському значенні цих термінів). Якісна визначеність проявляється в дефініції відповідного критерію якості. Кількісна визначеність - у конкретній чисельній мері цього критерію. У технічній літературі під «критерієм якості» звичайно мають на увазі як саме філософське поняття, що виражає цим терміном, так і його кількісну визначеність. Будемо дотримуватися тут таких же подань.

Терміном «якість контролю» звичайно йменують властивість придатності по призначенню або самій методиці контролю, або її конкретної реалізації (конкретного результату контролю) [14]. Відповідно до цим трактуванням критерій якості кількісно оцінює методику або в цілому, або з погляду окремого контрольованого об'єкта, для якого даний конкретний результат отриманий. Друге трактування здобуває самостійну значимість при контролі складних об'єктів, при використанні контрольної інформації для оперативного керування й в інших випадках. У вищевказаному підрозділі («якість контролю») оцінюється якість контролю «у середньому» по множині всіх потенційно можливих контрольованих об'єктів. Така оцінка відбиває лише загальні специфічні особливості досліджуваного алгоритму й реалізуючих його технічних засобів і служить критерієм якості відповідної методики контролю. На додаток до підрозділу «якість контролю» розглянемо це поняття стосовно до контролю окремого контрольованого об'єкта.

Змістовна постановка задачі наступна. Є деякий контрольований параметр, що описує конкретну реалізацію фізичної властивості. У результаті його контролю отримано одне із двох взаємовиключних суджень: «так» або «ні». Потрібно оцінити ступінь відповідності цього судження поставленим перед контролем цілям. Інакше кажучи, потрібно розрахувати критерій якості контролю даного конкретного контрольованого об'єкта.

Кількісна розробка критерію якості починається із установлення адекватної математичної моделі контрольованого об'єкта. Така модель повинна вичерпно відбивати специфічні кількісні особливості свого фізичного оригіналу. Сучасна теорія множин дозволяє задовольнити цій вимозі для багатьох класів реальних фізичних об'єктів.

Будемо вважати, що з погляду поставлених цілей множина потенційно можливих контрольованих об'єктів ізоморфно відображається деякою множиною G математичних об'єктів х. Природа множини G, а отже й об'єктів х, може бути різної. Так, якщо контрольований об'єкт – виріб, те х – число або числовий вектор, якщо партія виробів, те х – числова матриця, якщо реалізація безперервного технологічного процесу, те х — вибіркова функція (у загальному випадку векторна) і т.д. Математичний об'єкт х, що виступає вичерпним інформаційним представником контрольованого об'єкта, і служить його математичною моделлю.

Контроль будь-якого об'єкта можна інтерпретувати як досвідчене встановлення значення r деякого функціонала Ф від х: r = Ф (х) з областю визначення G і множиною значень {0,1}. Функціонал Ф символізує якусь потенційну методику контролю, описувану ідеальними методичною й технічною складовими. Вона служить «опорним еталоном», з яким рівняються по якості реальні методики, розроблені для контролю фізичних об'єктів того ж класу. Цей підхід виражає загальну ідею побудови оцінок якості й ефективності складних систем і структур.

Через помилки контролю якість його реальних методик нижче, ніж «еталонної» методики. Втрати якості виражаються через імовірності помилок, а ймовірності, у свою чергу, залежать від отриманої в процесі контролю інформації. По цій інформації й оцінюють, в остаточному підсумку, якість контролю окремого контрольованого об'єкта (якість окремого результату контролю).

Кожен контрольований об'єкт описується своєю математичною моделлю – реалізацією х, що несе певну кількісну інформацію. Реальні методики контролю виявляють у процесі контролю цього об'єкта в загальному випадку іншу реалізацію х_*, що несе іншу кількісну інформацію. Вона називається інформаційним малюнком результату контролю. Між елементами х множини можливих реалізацій G й елементами множини інформаційних малюнків G, є деяка відповідність F, так що x_* — F(х). При цьому кожному елементу x G відповідає один і тільки один елемент х_* G_*. Зворотне, як правило, несправедливо. Інформаційний рисунок х_* і використають при опеньку якості окремого результату контролю [14]..

Втрати якості ∆L_P такого контролю можна знайти за колишньою схемою як середнє значення функції втрат

, (1.34)

с тією різницею, що тепер усереднення ведеться не по множині всіх , а тільки тех. які утворять повний прообраз образа х_* (інакше кажучи, по множині нерозрізнених контролем об'єктів з даним інформаційним малюнком x_*:). Колишній вид має й функція втрат, , і – правильний і фактичний исходы контролю об'єкта.

При змістовному підході до призначення контролю функція втрат визначається вираженням

(1.35)

у якому з₁ і з₃ – ціна помилок відповідно першого й другого роду. Інтерпретуючи функцію втрат як випадкову величину, певну на множині елементарних подій G будемо розглядати компоненти с₀=0, с₁ і с₃ запису (1.34) як можливі значення, а запис (1.35) – як умовне математичне очікування цієї величини. Формально це дает

(1.36)

де р_i – умовна ймовірність прийняття випадковою величиною значення с_i (i=0, 1, 2) за умови х_* :

, (1.37)

(1.38)

, (1.39)

Очевидно, з погляду контролю окремого об'єкта ймовірності (1.37) – (1.39) виступають відповідно як вірогідність виконаного контролю р₀, ризик виробника р₁, і ризик замовника р₂.

Конкретизуємо тепер вираження для втрат якості (1.36).

Кожному інформаційному рисунку х_* ставиться у відповідність лише один з результатів контролю (або r_*=0 або r_*=1). Тому стосовно до окремого об'єкта «ризикує» лише один із зацікавлених сторін (або замовник, або виготовлювач). Ризик іншої сторони звертається в нуль. Це значить, що ненульовий ризик (для визначеності покладемо p₂≠0) служить вичерпною кількісною характеристикою якості описуваного контролю:

(1.40)

Оскільки випадкові події, що коштують у фігурних дужках (1.37) – (1.39), утворять повну групу, причому одне із двох останніх подій, як відзначено вище, є неможливим, ненульовий ризик служить одночасно й втратами вірогідності контролю

(1.41)

З (1.40) і (1.41) випливає, що при «змістовному» розумінні призначення контролю кількісні оцінки якостей і вірогідності контролю окремого об'єкта з точністю до постійного множника збігаються.

При виробничому підході до призначення контролю функція втрат має вигляд

і втрати якості дорівнюють значенню

, (1.42)

де — ризик замовника за умови позитивного результату контролю (r_*=0) об'єкта, що перевіряє

, (1.43)

Очевидно, для інформаційних малюнків х_*, що відповідають позитивному результату контролю r_*=0, ризик (1.33) збігається з ризиком (1.39), а виходить, і із втратами вірогідності контролю

^(1.44)

Таким чином, і у випадку виробничий підхід до призначення контролю між кількісними оцінками вірогідності і якості контролю окремого об'єкта, принаймні, при с(х_*)=const є взаємно однозначна відповідність. Цей результат певною мірою виправдує розповсюджену серед метрологів думку про тотожність понять «вірогідності» й «якості» контролю. Разом з тим необхідно відзначити, що ці поняття несуть різне семантичне навантаження. І тільки з погляду контролю окремого об'єкта в кількісному відношенні вони можуть бути взаємозамінні.

Для ілюстрації розглянемо контроль безперервної скалярної функції часу х=х(t), певної на відрізку [0,τ]. Така функція може описувати властивість деякого об'єкта контролю, наприклад технологічного процесу. Нехай норма N – множина безперервних функцій задовольняючих на відрізку [0,τ] умові . Виберемо типовий алгоритм контролю функції, що зводиться до виміру значень x(t_i ) функції x(t) у дискретні моменти часу t_i(t₁=0, t₂…t_n=τ) і порівнянню результатів вимірів х_i із границями норми а й b. Якщо всі вони укладаються в контрольний допуск [а,b], тобто якщо

, (1.45)

результат контролю функції x(t) уважається позитивним. У противному випадку - негативним.

Нехай результат контролю деякої конкретної функції x(t) виявився позитивним , тобто умова (1.45) виконано. Конкретизуємо наведені вище загальні результати для даного випадку. Для цього досить привести запис вірогідності контролю або її втрат, через які автоматично виражаються втрати якості.

Звернемося до загального запису вірогідності (1.37). Оскільки за умовою задачі , рівність, що коштує в лівій частині фігурних дужок, – означає позитивність правильного результату: . Останнє в даному прикладі розшифровується так: для будь-яких t з [0,τ]. У припущенні абсолютно точних вимірів інформаційний рисунок х_*, являє собою ґратчасту функцію (послідовність п крапок (t_i, x_i), i=1,2,…n... Звідси вірогідність виконаного контролю р₀ запишеться як умовна ймовірность

(1.46)

При вимірах з округленням (наприклад, при округленні з недоліком) інформаційний рисунок перетворюється сукупність розмитих по вертикалі «точок» (t_i,X_i), де , де – значення округлення. У цьому випадку вірогідність контролю здобуває вид

(1.47)

Такий же вид має вірогідність контролю й при наявності похибки вимірів δ, з тією різницею, що тепер .

Якщо контроль проводять «без виміру», розмір «розмитості» досягає контрольного допуску (як і раніше результат контролю функції вважається позитивним), і інформаційний рисунок х_* перетворюється в сукупність паралельних конгруентних відрізків. При абсолютно точних порівняннях значень x(t_i) із границями допуску вірогідність коштовного контролю запишеться у формі

. (1.48)

Втрати вірогідності (вони ж ризик замовника) рівні . Втрати якості контролю (при тім й іншому підходах до його призначення) найдуться як добуток втрат вірогідності на відповідну ціну помилки с₂ або .Наведені загальні залежності залишаються в силі й при контролі векторних функцій. У цьому випадку відповідні рівності, нерівності й відносини приналежності у фігурних дужках (1.46) - (1.48) розуміються векторно - як конюнкції покомпонентних рівностей й інших відносин [15].