8 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье. Равенство Парсеваля.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Для наглядной иллюстрации перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье, часто используют подход:

Представляем периодическую последовательность импульсов произвольного вида и сформировываем ряд Фурье для неё. Затем не меняя формы одиночных импульсов увеличиваем период их повторения и снова рассчитываем коэффициент ряда Фурье.

Изменение пределов интегрирования не играет роли. Единственные дополнительное изменения будет состоять в уменьшении общего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период Т.

На рис описаны изменения иллюстрирующиеся на примере двукратного увеличения периода следования прямоугольных импульсов.

Вывод:

С ростом периода следования импульса гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте, а общий уровень спектральных составляющих становится всё меньше. При этом вид вычисляемого интеграла не меняется. Если устремить период к бесконечности периодическая последовательность переходит в одиночный импульс) гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную ось.

Однако взаимное соотношение между уровнем гармоник остаётся неизменным и определяется интегралом. Поэтому при спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчёта коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется так:

1 Частота перестаёт быть дискретно меняющийся и становится непрерывным параметром преобразования

2 удаляются множители 1/Т

3 Результатом вычислений вместо номерованных коэффициентов ряда Ск являются функция частоты S(w) – спектральная функция сигнала S(t).

В результате перечисленных модификаций наша формула переходит в формулу прямого преобразования Фурье

Перед интегралом появляется деление на 2П-обратное преобразование Фурье

Если использовать обычную частоту а не циклическую, то формула выглядит

Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять требованиям:

1 Должно выполняться условие Дирехле

2 Сигнал должен быть абсолютно интегрируемый — интеграл от его модуля – конечная величина

Равенство Парсеваля

Равенство Парсеваля – соотношение позволяющее вычислить энергию сигнала как во временной так и в частотной области.

Оно утверждает, что энергия заключённая в импульсе равна сумме энергий всех составляющих его спектров.

Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигнала: если некоторая система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает что часть энергии сигнала теряется

9 Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова. Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра.

При дискретизации выборками в качестве координат сигнала используются текущие значения сигнала в фиксированные моменты времени:

S(t1),S(t2)…S(tn)

Sk=S(tk) – выборки отсчётами

К моменту времени t1,t2,…tn – точки опроса, а сам процесс формирования таких координат – опрос.

П оследовательность выборок может рассматриваться как сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.

При регулярном опросе точки t1,t2,…,tk образуют на оси времени t регулярную последовательность, так что t2-t1=t3-t2=…=tk-tk-1=T0

Интервал времени To –период опроса(интервал дискретизации. Широкое использование регулярного дискретного представления по выборкам объясняется простотой его аппаратурной реализации и достаточно высокой эффективностью. интерполяция- восстановление сигнала на приёмной стороне по переданным дискретным значениям.

теорема Котельникова:

Любой непрерывный детерминированный или случайный процесс(сигнал) St возможно восстановить со сколь угодно высокой точностью по его дискретным регулярным выборкам при условиях:

1 Процесс имеет ограниченный спектр от 0 до Fв

2 Процесс наблюдается бесконечное время

3 интервал дискретизации T₀ ≤ 1/2F_в,

Восстановление процесса ведётся по точным значениям выборок в форме ряда Котельникова с помощью функций отсчёта:Wn(t-kTo) –функция отсчёта представляет собой импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот или эквивалентного ему устройства.

Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра

Рассмотрим требования предъявляемые к выбору по частоте опроса. С точки зрения возможности выделения сигнала при приёме за счёт использования фильтрации низкочастотной части спектра

А – спектр исходного сигнала; Б- спектр АИМ сигнала при wo=2wв

В – спектр АИМ сигнала при wo>2wв; Г – спектр АИМ сигнала при wo<2wв

Если в соответствии с теоремой Кательникова выбрано wo=2wв, то спектр дискретизации сигнала имеет вид показанный на рис.б , который должен быть зашртихован. Спектр первичного сигнала может быть отделён от нижней боковой частоты если в диапазоне частот до wо только с помощью идеального фильтра нижних частот . Такой фильтр физически нереализуем, поэтому нужна частота wo>2wв

При wo<2wв спектр исходного и АИМ сигналов пересекаются и разделение невозможно. Во избежание искажений спектр первичного сигнала перед дискретизацией ограничивают по полосе частот, подавляя составляющие выше wв.