6 Энергия и мощность сигнала.

Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна:

За время Т в этом резисторе выделяется тепловая энергия:

Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сигнал S(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени (речь идет о мгновенной мощности).

Чтобы вычислить теряющуюся за время T энергию, мгновенную мощность необходимо проинтегрировать:

Можно ввести и понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки R. Если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средние сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить (принять R=1). Тогда мы получим определение энергии мгновенной мощности и средней мощности, принятой в теории сигналов

(1)

Данные параметры иногда называются удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть, подразумевая при этом единичное значение сопротивления нагрузки.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию, а любой периодический – бесконечную. Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. Для этого из формулы (1) путем предельного перехода, устремив интервал усреднения в бесконечность

(2)

Квадратный корень из Рср даст среднеквадратичное значение мощности сигнала

(3)

7 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение:

S(t+nT) = S(t) при любом t.

где n - произвольное целое число Т – период сигнала

Величина обратная периоду называется частотой повторения сигнала (f = 1/T). Используют понятие круговой частоты. (ω = 2πf)

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы, при этом они представляют собой в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами образующих арифметическую прогрессию.

Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

1не должно быть разрывов 2-го рода ( с уходящими в бесконечность ветвями ф-ии)

2число разрывов 1-го рода (скачков) должно быть конечным

3число экстремумов должно быть конечным

Различают несколько форм записи ряда Фурье:

Синусно-косинусная форма записи ряда Фурье.

S(t) = (a₀/2) + ∑(a_k*cos(kw₁t) + b_k*sin(kw₁t))

w₁ = 2π/T – круговая частота соответствующая периода повторения сигнала равному Т.

Входящие в формулу кратные ей частоты называются гармониками.

Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота w_k = kw₁ называется к-ой гармоникой сигнала.

Соответственно а_к, в_к, а₀.

Ряд Фурье. Вещественная форма. Комплексная форма.

Вещественная форма записи.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования к в формуле фигурируют два слагаемых синус и косинус.

S(t) = (a₀/2) + ∑А_k*cos(kw₁t + φ_к)

Если S(t) является чётной функцией фазы φ_к могут принимать значения 0 и П, а если S(t) функция нечётная, то возможны значения фазы ±П/2.

Комплексная форма записи.

Данная форма представления является наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Вытекает из формулы Эйлера:

е^jx = cosx + sinx

cosx = ½ ( e^jx + e^-jx )

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показаетлями.

S(t) = (a₀/2) + ∑ А_k/2(exp(jkw₁t + jφ_к) + exp(-jkw₁t - jφ_к))

Разложение сигналов ряд Фурье. Меандр. Пилообразный сигнал.

Каждым частным случаем предыдущего сигнала является меандр- последовательность прямоугольных импульсов со скважностью равной 2, когда длительность импульсов и промежуки м/у ними становятся равными.

Т.о в спектре меандров присутствуют только нечетные гармоники.

Представление меандра в виде ряда Фурье:

Г армонические составляющие, из которых складыается меандр имеют амплитуды обратнопропорциональные номерам гармоник и чередующиеся знаки.

Пилообразный сигнал: в пределах периода описывается следующей функцией:

функция нечетная –> ряд Фурье содержит только sin-e слагаемые

У периодических сигналов есть общая черта - амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально k