МА_Метода

Доказательство. 1) применяем интегрирование по частям:

+∞

Z

2) (1) = e−t dt = −e−t +∞ = 1;

0

0

3) используем 1) и 2), тогда

(n + 1) = n (n) = n(n − 1) (n − 1) = · · · = n(n − 1) · · · 2 · 1 (1) = n!; lim (x+

9. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

В 9 используются комплекснозначные функции вещественной переменной. Дадим необходимые определения и приведем (необходимые в дальнейшем) свойства таких функций.

Определение 9.1. Функция f : < a, b > R → C называется комплекснозначной функцией вещественной переменной, если f(x) = ϕ(x)+ +iψ(x), где ϕ, ψ : < a, b >→ R, а i мнимая единица. Обычно функция ϕ называется вещественной частью f, а ψ мнимой частью f. При этом используются обозначения: ϕ = <e(f) и ψ = =m(f).

Дадим определение интеграла от комплекснозначной функции вещественной переменной.

Определение 9.2. Пусть f : < a, b > R → C (допускается, что a = −∞, а b = +∞) тогда f = ϕ + iψ, где ϕ, ψ : < a, b >→ R. Пусть ϕ, ψ интегрируемы на < a, b >. Тогда f интегрируема на < a, b > и, по определению,

Для интеграла от комплекснозначной функции вещественной переменной можно доказать следующее предложение см. [ 3 ].

80

b

Z

Предложение 9.1. 1. Для f(x) dx справедливы формулы Ньютона

a

Лейбница и интегрирования по частям. 2. Справедливо неравенство

ZZ

f(x) dx ≤ |f(x)| dx

a a

9.1. Функция оригинал

Определение 9.3. Функцией оригиналом называется комплекснозначная функция вещественного переменного f : R → C, удовлетворя-

ющая условиям:

1)f интегрируема на любом конечном промежутке;

2)для любых t < 0 f(t) = 0;

3)существуют вещественные постоянные M > 0 и σ ≤ 0 такие, что для любых t R |f(t)| ≤ Meσt.

Пример 9. 1. Все описанные ниже функции являются функциямиоригиналами. Первые два условия определения 9.3 очевидны, а для треть-

его укажем константы M > 0 и σ ≥ 0 1) функция Хевисайда δ1 : R → C

(

δ1(t) =

1, åñëè t ≥ 0,

0, åñëè t < 0,

σ= 0, M = 1;

2)f(t) = tnδ1(t) (в качестве σ можно взять любое положительное число, а существование M > 0 следует из ограниченности функции tne−σt);

3)f(t) = sin(kt + ω)δ1(t) σ > 0, M = 1;

4)f(t) = eatδ1(t) σ = <e(a), M = 1. •

Теорема 9.1. Если f, g функции-оригиналы, то:

1)для любого λ C λf функция-оригинал;

2)f ± g функция-оригинал;

3)fg функция-оригинал;

t

Z

4) Φ(t) = f(τ) dτ функция-оригинал.

0

81

Доказательство. Выполнение свойств 1, 2 определения 9.3 очевидно. Необходимо проверять выполнение свойства 3. Так как f, g функции-

оригиналы, то существуют M1, M2 > 0; σ1, σ2 ≥ 0 такие, что |f(t)| ≤

≤M1eσ1t è |g(t)| ≤ M2eσ2t. Тогда:

1)|λf(t)| ≤ |λ|M1eσ1t, следовательно λf функция-оригинал;

2)пусть, для определенности, σ1 ≥ σ2, тогда |f(t) ± g(t)| ≤ |f(t)|+ +|g(t)| ≤ M1eσ1t + M2eσ2t ≤ (M1 + M2)eσ1t. Следовательно f ±g функция-

оригинал;

3) |f(t)g(t)| ≤ |f(t)||g(t)| ≤ M1M2e(σ1+σ2)t. Значит fg функция-ори- гинал;

σ1 > 0. Åñëè, æå σ1 = 0, òî |Φ(t)| ≤ M1t ≤ M1et. Следовательно |Φ(t)| функция-оригинал.

ся абсолютно для всех s C удовлетворяющих условию <e(s) > σ (см. свойство 3 определения 9.3 ).

Доказательство. Из определения функции-оригинала получаем:

|f(t)e−st| = |f(t)||e−st| = |f(t)|e−t<e(s) ≤ Me−t(<e(s)−σ).

Функция Me−t(<e(s)−σ) ïðè <e(s) > σ интегрируема на [0, +∞) è

+∞

Me−t(<e(s)−σ) dt = M

<e(s) − σ

Z

f(t)e−st dt сходит-

0

Определение 9.4. Пусть f функция-оригинал и задана область D = {s C | <e(s) > σ} C, тогда функция комплексного переменного

F : D → C,

+∞

Z

F (s) = f(t)e−st dt

0

82

называется изображением по Лапласу оригинала f.

При этом применяются следующие обозначения: F = L(f) è f = = L−1(F ). Соответствие между оригиналами и изображениями называют преобразованием Лапласа.

9.3. Теоремы линейности, запаздывания и смещения

Пусть f g функции-оригиналы. Тогда по определению 9.3 сущест-

âóþò M1, M2 > 0 è σ1, σ2 ≥ 0 такие, что |f(t)| ≤ M1eσ1t |g(t)| ≤ M2eσ2t. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 9.3. (Линейности.) Для любых c1, c2 C

L(c1f + c2g) = c1L(f) + c2L(g)

ïðè <e(s) > max(σ1, σ2).

Доказательство, очевидно, следует из свойств линейности интеграла и теоремы 9.1 .

Теорема 9.4. (Смещения.) L(f(t)eat) = L(f)(s − a) ïðè <e(s) > > <e(a) + σ1.

Доказательство. Из примера 9.1 и теоремы 9.1 f(t)eat функция- оригинал <e(s) > <e(a) + σ1. Следовательно, для таких s:

+∞

Z

L(f(t)eat) = f(t)e−(s−a)t dt = F (s − a) = L(f)(s − a).

0

83

Теорема 9.5. (Запаздывания.) Для любых t0 > 0 L(f(t − t0)) = = e−st0 L(f(t)) ïðè <e(s) > σ1.

Доказательство. Очевидно, что f(t−t0) функция-оригинал и изображение по Лапласу существует для нее при <e(s) > σ1. Далее

9.4.Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала. Теорема о свертке

Теорема 9.6. (О дифференцировании оригинала.) Предположим, что функция f и ее производные f(k), k = 0, . . . , n являются функ-

циями-оригиналами, и при этом выполнены оценки: |f(k)(t)| ≤ Mkeσkt, k = 0, . . . , n. Тогда при <e(s) > max(σ0, σ1, . . . , σn) :

L(f(n)) = snL(f) − sn−1f(0) − sn−2f0(0) − · · · − sf(n−2)(0) − f(n−1)(0). (9.1)

Доказательство. Проведем доказательство для f0. Для остальных

производных доказательство проводится по индукции. Применим формулу интегрирования по частям. Тогда

Теорема 9.7. (Об интегрировании оригинала.) Предположим, что функция f является функцией-оригиналом, и при этом выполнена

оценка: |f(t)| ≤ Meσt, Тогда при <e(s) > σ :

84

ется функцией-оригиналом и изображение по Лапласу для нее существует при <e(s) > σ. Очевидно Φ(0) = 0 и, согласно теореме Барроу см. теорему

6.8 , Φ0(t) = f(t). Следовательно, используя теорему 9.6 , получаем

−∞

Предложение 9.2.Если f, g функции-оригиналы, то (f g)(t) =

t

Z

= f(τ)g(t − τ) dτ и f g функция-оригинал.

0

Доказательство. Поскольку f, g функции-оригиналы, то f(τ) = 0 при τ > 0 и g(t − τ) = 0 при τ > t. Значит

|f(τ)g(t − τ)| ≤ M1eσ1τ M2eσ2(t−τ) ≤ M1M2eσ1τ eσ2(t−τ) = M1M2eσ1τ .

85

Следовательно,

t

Z

|(f g)(t)| ≤= |f(τ)g(t − τ)| dτ ≤ M1M2eσ1tt ≤ M1M2e(σ1+1)t

0

так как для любого t R t ≤ et.

Теорема 9.8. (О свертке.) Предположим, что функции f, g являются функциями-оригиналами, и при этом выполнены оценки: |f(t)| ≤ ≤ M1eσ1t, |g(t)| ≤ M2eσ2t. Тогда при <e(s) > max{σ1, σ2} :

L(f g) = L(f)L(g).

Без доказательства.

Замечание 9.1. Выше приведенные теоремы позволяют находить изображения по оригиналу, не вычисляя интегралов из определения 9.4 .

9.5.Нахождение оригинала правильной рациональной дроби

Часто возникает потребность найти оригинал по изображению, представляющему собой правильную рациональную дробь. Напомним, что рациона-

Pm(s)

льной дробью называют отношение Qn(s) двух полиномов Pm(s) è Qn(s), степени которых равны m è n, соответственно. Дробь называют правиль-

íîé, åñëè m < n, и неправильной, если m ≥ n.

Теорема 9.9. Всякая правильная рациональная дробь имеет ориги-

íàë.

Доказательство. Произвольную правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших дробей и, использовать теорему

линейности (ò. 9.3 ), то достаточно показать, что простейшие дроби имеют

оригинал.

Отметим, что если использовать комплексные корни полинома Qn(s),

A

то достаточно найти оригинал от простейшей дроби (s − a)k . Используя теорему 9.4 , а также пример 9.4 легко получить, что:

Замечание 9.2. Неправильная рациональная дробь не имеет ориги-

86

10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

10.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда

Пусть {an} последовательность чисел. Образуем новую последовательность {Sn} по следующему правилу:

S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an, . . .

Пара последовательностей {an} è {Sn} называется числовым рядом. Числа a1, a2, . . . , an называются первым, вторым, . . . , n-м членом ряда; а числа S1, S2, . . . , Sn называются первой, второй, . . . , n-й частичной суммой ðÿ-

Òàê êàê lim Sn = 1, то ряд сходится и его сумма равна 1.

87

2. Используя свойства логарифма получим:

Òàê êàê lim Sn = +∞, то ряд расходится.

+∞

3. Из школьного курса известно, что ряд P bqn−1 (членами которого

n=1

служат элементы геометрической прогрессии) сходится при |q| < 1 и его сумма равна b/(1 − q) и расходится при |q| ≥ 1. •

Теорема 10.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если

+∞

ðÿä P an сходится, то lim an = 0.

n=1

Доказательство. По условию существуют lim Sn = lim Sn−1 = S. Отсюда lim an = lim(Sn − Sn−1) = S − S = 0.

Следствие 10.1. (достаточный признак расходимости ряда).

PP

bn è (αan + βbn) соответственно. Тогда Sn = αAn + βBn. По теоре-

n=1 n=1

ìå 2.4 lim Sn = α lim An + β lim Bn = αA + βB и по определению 10.1

+∞

P

(αan + βbn) = αA + βB.

n=1 Легко показать, что конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость, т. е. справедливо следующее предложение.

=1

P

n≥m

88

10.2. Признаки сравнения для положительных рядов

Рад с неотрицательными членами называется положительным. Сходимость или расходимость положительного ряда можно установить, сравнивая его с каким-нибудь другим положительным рядом, о сходимости которого все известно.

Теорема 10.2 (признак сравнения). Пусть n N 0 ≤ an ≤ bn.

сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. Для сумм этих рядов справедливо неравенство A ≤ B.

PP

89